Помогите, не могу решить задачу: arctg^2x:1+x^2*dx

Алгебра 11 класс Интегралы и их свойства алгебра 11 класс решение задач по алгебре интегралы arctg arctg^2x dx математика подготовка к экзаменам Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам. Вы хотите решить интеграл вида:

∫ arctg^2(x) / (1 + x^2) dx

Это интеграл, который можно решить с помощью подстановки. Начнем с того, что вспомним, что производная арктангенса:

• d(arctg(x)) / dx = 1 / (1 + x^2)

Это значит, что мы можем использовать следующую подстановку:

u = arctg(x)

Теперь найдем производную u:

du = 1 / (1 + x^2) dx

Следовательно, dx можно выразить через du:

dx = (1 + x^2) du

Теперь подставим u и dx в наш интеграл:

∫ u^2 du

Теперь мы можем легко интегрировать:

∫ u^2 du = (u^3) / 3 + C

Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно arctg(x):

u = arctg(x)

Итак, итоговое решение будет:

(arctg^3(x)) / 3 + C

Где C - это константа интегрирования.

Таким образом, мы успешно решили интеграл. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!