Решите следующие уравнения:

1. log(2x² + 4x - 7) = log(x + 2) при основании 1/3
2. log(x² - 7x + 4) = log(x - 3) при основании 8

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения уравнения алгебра логарифмы решение уравнений 11 класс математика Логарифмическое уравнение основы логарифмов Новый

Решим оба уравнения по очереди. Начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: log(2x² + 4x - 7) = log(x + 2) при основании 1/3.

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, если их аргументы равны, мы можем записать:

2x² + 4x - 7 = x + 2.

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

• 2x² + 4x - x - 7 - 2 = 0,
• 2x² + 3x - 9 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение 2x² + 3x - 9 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-9) = 9 + 72 = 81.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня. Находим корни:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + 9) / 4 = 6 / 4 = 1.5,
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - 9) / 4 = -12 / 4 = -3.

Теперь проверим, подходят ли найденные значения для логарифмов:

• Для x₁ = 1.5: 2(1.5)² + 4(1.5) - 7 = 4.5 + 6 - 7 = 3 (положительное значение),
• Для x₂ = -3: 2(-3)² + 4(-3) - 7 = 18 - 12 - 7 = -1 (отрицательное значение, не подходит).

Таким образом, решение первого уравнения: x = 1.5.

2. Уравнение: log(x² - 7x + 4) = log(x - 3) при основании 8.

Аналогично, при равенстве логарифмов их аргументы равны:

x² - 7x + 4 = x - 3.

Переносим все члены в одну сторону:

• x² - 7x - x + 4 + 3 = 0,
• x² - 8x + 7 = 0.

Находим дискриминант D:

• D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

• x₁ = (8 + √36) / 2 = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7,
• x₂ = (8 - √36) / 2 = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1.

Теперь проверим, подходят ли найденные значения для логарифмов:

• Для x₁ = 7: 7 - 3 = 4 (положительное значение),
• Для x₂ = 1: 1 - 3 = -2 (отрицательное значение, не подходит).

Таким образом, решение второго уравнения: x = 7.

Итак, окончательные ответы:

• Первое уравнение: x = 1.5.
• Второе уравнение: x = 7.