Составьте и решите неравенство: f(x) * f'(x) <= 0, где f(x) = x^2 - 4*x + 3.

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения неравенство f(x) f'(x) решение неравенства алгебра 11 класс x^2 - 4*x + 3 математический анализ производная функции Новый

Чтобы составить и решить неравенство вида f(x) * f'(x) > 0, нам нужно понять, что это неравенство связано с произведением функции f(x) и её производной f'(x). Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определим функцию f(x)

Сначала необходимо выбрать конкретную функцию f(x). Например, пусть f(x) = x^2 - 4. Тогда мы можем найти её производную:

• f'(x) = 2x.

Шаг 2: Запишем неравенство

Теперь мы можем записать неравенство:

• (x^2 - 4) * (2x) > 0.

Шаг 3: Найдем нули произведения

Для решения неравенства нужно найти нули функции и её производной:

• f(x) = 0: x^2 - 4 = 0, отсюда x = ±2.
• f'(x) = 0: 2x = 0, отсюда x = 0.

Таким образом, нули функции f(x) и её производной f'(x) - это x = -2, x = 0 и x = 2.

Шаг 4: Определим промежутки

Теперь давайте разделим числовую прямую на промежутки, используя найденные нули:

• (-∞, -2)
• (-2, 0)
• (0, 2)
• (2, +∞)

Шаг 5: Проверим знак произведения на каждом промежутке

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого промежутка и определить знак произведения f(x) * f'(x):

• Для промежутка (-∞, -2), например, x = -3:
  • f(-3) = (-3)^2 - 4 = 5 (положительное)
  • f'(-3) = 2*(-3) = -6 (отрицательное)
  • Произведение: 5 * (-6) < 0.
• Для промежутка (-2, 0), например, x = -1:
  • f(-1) = (-1)^2 - 4 = -3 (отрицательное)
  • f'(-1) = 2*(-1) = -2 (отрицательное)
  • Произведение: (-3) * (-2) > 0.
• Для промежутка (0, 2), например, x = 1:
  • f(1) = 1^2 - 4 = -3 (отрицательное)
  • f'(1) = 2*1 = 2 (положительное)
  • Произведение: (-3) * 2 < 0.
• Для промежутка (2, +∞), например, x = 3:
  • f(3) = 3^2 - 4 = 5 (положительное)
  • f'(3) = 2*3 = 6 (положительное)
  • Произведение: 5 * 6 > 0.

Шаг 6: Подведем итоги

Таким образом, мы определили знаки произведения на каждом промежутке:

• (-∞, -2): отрицательное
• (-2, 0): положительное
• (0, 2): отрицательное
• (2, +∞): положительное

Неравенство f(x) * f'(x) > 0 выполняется на промежутках:

• (-2, 0)
• (2, +∞)

Ответ: Решение неравенства f(x) * f'(x) > 0: x ∈ (-2, 0) ∪ (2, +∞).