Давайте поочередно выполним указанные действия с матрицами. Я объясню каждый шаг подробно.

a) (-1 5; 2 3)^2

Чтобы возвести матрицу в квадрат, нужно умножить её саму на себя. Запишем матрицу:

• A = (-1 5)
• (2 3)

Теперь выполним умножение:

1. Элемент в первой строке и первом столбце:
• (-1 * -1) + (5 * 2) = 1 + 10 = 11
2. Элемент в первой строке и втором столбце:
• (-1 * 5) + (5 * 3) = -5 + 15 = 10
3. Элемент во второй строке и первом столбце:
• (2 * -1) + (3 * 2) = -2 + 6 = 4
4. Элемент во второй строке и втором столбце:
• (2 * 5) + (3 * 3) = 10 + 9 = 19

Итак, результат:

• A^2 = (11 10)
• (4 19)

б) (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)^5

Эта матрица является единичной (или диагональной) матрицей. При возведении единичной матрицы в любую степень она остается такой же:

• (1 0 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

Поэтому результат:

• (1 0 0)
• (0 1 0)
• (0 0 1)

в) (0 1; 0 0)^4

Сначала найдем квадрат этой матрицы:

• B = (0 1)
• (0 0)

Умножаем матрицу на себя:

1. Элемент в первой строке и первом столбце:
• (0 * 0) + (1 * 0) = 0
2. Элемент в первой строке и втором столбце:
• (0 * 1) + (1 * 0) = 0
3. Элемент во второй строке и первом столбце:
• (0 * 0) + (0 * 0) = 0
4. Элемент во второй строке и втором столбце:
• (0 * 1) + (0 * 0) = 0

Таким образом, B^2 = (0 0)

• (0 0)

Теперь возведем эту матрицу в квадрат еще два раза:

B^4 = (0 0)

• (0 0)

Итак, результат:

• B^4 = (0 0)
• (0 0)

г) (cosα -sinα; sinα cosα)^3

Эта матрица представляет собой матрицу поворота. При возведении матрицы поворота в степень n, угол поворота увеличивается в n раз. Таким образом, при возведении в третью степень угол поворота будет 3α:

Результат будет выглядеть так:

• (cos(3α) -sin(3α))
• (sin(3α) cos(3α))

Таким образом, мы получили результаты для всех пунктов:

• a) (11 10; 4 19)
• б) (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)
• в) (0 0; 0 0)
• г) (cos(3α) -sin(3α); sin(3α) cos(3α))