Чтобы определить, есть ли действительные корни у квадратных уравнений, нам нужно вычислить дискриминант. Дискриминант D для уравнения вида ax² + bx + c = 0 рассчитывается по формуле:

D = b² - 4ac

Если D > 0, то у уравнения два различных действительных корня. Если D = 0, то есть один действительный корень (двойной корень). Если D < 0, то действительных корней нет.

Теперь давайте рассмотрим каждое уравнение по порядку.

1. Уравнение: x² - 2x - 1 = 0
   • a = 1, b = -2, c = -1
   • D = (-2)² - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8
   • D > 0, значит, есть два различных действительных корня.
   • Корни: x₁ = (2 + √8)/2 = 1 + √2, x₂ = (2 - √8)/2 = 1 - √2.
   • Знаки корней: x₁ > 0, x₂ < 0.
2. Уравнение: x² - √5 x + 1 = 0
   • a = 1, b = -√5, c = 1
   • D = (-√5)² - 4 * 1 * 1 = 5 - 4 = 1
   • D > 0, значит, есть два различных действительных корня.
   • Корни: x₁ = (√5 + 1)/2, x₂ = (√5 - 1)/2.
   • Знаки корней: x₁ > 0, x₂ > 0.
3. Уравнение: 3x² - 4x + 7,2 = 0
   • a = 3, b = -4, c = 7.2
   • D = (-4)² - 4 * 3 * 7.2 = 16 - 86.4 = -70.4
   • D < 0, значит, действительных корней нет.
4. Уравнение: x² + x - 1 = 0
   • a = 1, b = 1, c = -1
   • D = 1² - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5
   • D > 0, значит, есть два различных действительных корня.
   • Корни: x₁ = (-1 + √5)/2, x₂ = (-1 - √5)/2.
   • Знаки корней: x₁ > 0, x₂ < 0.

В итоге:

• Уравнение x² - 2x - 1 = 0: два корня, один положительный и один отрицательный.
• Уравнение x² - √5 x + 1 = 0: два положительных корня.
• Уравнение 3x² - 4x + 7,2 = 0: действительных корней нет.
• Уравнение x² + x - 1 = 0: два корня, один положительный и один отрицательный.