Похожие вопросы
2025-10-29 01:48:14
Вычислите производную функции:
y = ln^3(1 + cos x)
Алгебра 11 класс Производные функций алгебра 11 производная функции LN cos x вычисление производной математика тригонометрические функции Новый
2025-10-29 01:48:27
Для вычисления производной функции y = ln^3(1 + cos x) нам нужно использовать правило производной сложной функции и правило производной степени. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.
- Определим внешнюю и внутреннюю функции. В данном случае у нас есть внешняя функция u^3, где u = ln(1 + cos x). Мы будем использовать правило производной степени и правило производной сложной функции.
- Найдем производную внешней функции. Производная функции u^3 по u равна 3u^2. Поэтому, если мы обозначим u = ln(1 + cos x), то:
- dy/du = 3u^2.
- Теперь найдем производную внутренней функции u = ln(1 + cos x). Для этого используем правило производной логарифмической функции:
- du/dx = 1/(1 + cos x) * (-sin x) = -sin x / (1 + cos x).
- Теперь применим правило цепочки для нахождения полной производной dy/dx:
- dy/dx = dy/du * du/dx.
- Подставим найденные значения:
- dy/dx = 3u^2 * (-sin x / (1 + cos x)).
- Теперь заменим u на ln(1 + cos x):
- dy/dx = 3(ln(1 + cos x))^2 * (-sin x / (1 + cos x)).
- Итак, окончательный вид производной будет:
- dy/dx = -3(ln(1 + cos x))^2 * (sin x / (1 + cos x)).
Таким образом, мы получили производную функции y = ln^3(1 + cos x):
dy/dx = -3(ln(1 + cos x))^2 * (sin x / (1 + cos x)).