Чтобы вычислить производную функции y = x(cos(ln x) + sin(ln x)), мы будем использовать правило произведения и правило цепочки.

Функция y состоит из двух множителей: u = x и v = cos(ln x) + sin(ln x). Мы применим правило произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций равна:

Теперь найдем производные u и v.

1. Находим u':
• u = x, поэтому u' = 1.
2. Находим v':
• v = cos(ln x) + sin(ln x).
• Чтобы найти v', применим правило цепочки:
• Производная cos(ln x) равна -sin(ln x) * (1/x), так как производная ln x равна 1/x.
• Производная sin(ln x) равна cos(ln x) * (1/x).
• Таким образом, v' = -sin(ln x) * (1/x) + cos(ln x) * (1/x) = (cos(ln x) - sin(ln x)) * (1/x).

Теперь подставим найденные производные u' и v' в формулу для производной произведения:

y' = u'v + uv' = 1 * (cos(ln x) + sin(ln x)) + x * ((cos(ln x) - sin(ln x)) * (1/x)).

Упрощаем выражение:

1. Первое слагаемое: 1 * (cos(ln x) + sin(ln x)) = cos(ln x) + sin(ln x).
2. Второе слагаемое: x * ((cos(ln x) - sin(ln x)) * (1/x)) = cos(ln x) - sin(ln x).

Теперь складываем оба слагаемых:

y' = (cos(ln x) + sin(ln x)) + (cos(ln x) - sin(ln x)) = 2cos(ln x).

Таким образом, производная функции y = x(cos(ln x) + sin(ln x)) равна: y' = 2cos(ln x).