Чтобы решить уравнение x² + 12xy + 52y² - 8y + 1 = 0 относительно x, мы можем рассматривать его как квадратное уравнение по переменной x. Уравнение имеет вид:

A = 1 (коэффициент при x²), B = 12y (коэффициент при x), C = 52y² - 8y + 1 (свободный член).

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-B ± √(B² - 4AC)) / 2A

Подставим наши значения A, B и C в формулу:

1. Вычислим B²:
• B² = (12y)² = 144y²
2. Вычислим 4AC:
• 4AC = 4 * 1 * (52y² - 8y + 1) = 4 * (52y² - 8y + 1) = 208y² - 32y + 4
3. Теперь найдем дискриминант D:
• D = B² - 4AC = 144y² - (208y² - 32y + 4)
• D = 144y² - 208y² + 32y - 4 = -64y² + 32y - 4

Теперь у нас есть дискриминант D = -64y² + 32y - 4. Чтобы найти корни уравнения, нам нужно, чтобы D было больше или равно нулю (D ≥ 0).

Решим неравенство -64y² + 32y - 4 ≥ 0. Сначала найдем корни уравнения -64y² + 32y - 4 = 0, используя формулу для корней квадратного уравнения:

Корни находятся по формуле:

y = (-B ± √(D)) / 2A

Где A = -64, B = 32, C = -4.

Теперь найдем дискриминант D:

D = 32² - 4 * (-64) * (-4) = 1024 - 1024 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, есть один корень:

y = (-32) / (2 * -64) = 32 / 128 = 1/4.

Теперь подставим значение y = 1/4 в уравнение для нахождения x:

Подставляем y в C:

C = 52(1/4)² - 8(1/4) + 1 = 52(1/16) - 2 + 1 = 52/16 - 2 + 1 = 13/4 - 2 + 1 = 13/4 - 8/4 + 4/4 = 9/4.

Теперь подставим значения A, B и C в формулу для x:

x = (-12(1/4) ± √(0)) / 2(1) = (-3 ± 0) / 2 = -3/2.

Таким образом, мы нашли, что при y = 1/4, x = -3/2. Это единственное решение данного уравнения.

Ответ: x = -3/2, y = 1/4.