Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

У нас есть две точки на колесе: одна на ободе с линейной скоростью v₁ и другая, находящаяся на расстоянии r=5 см ближе к оси колеса, с линейной скоростью v₂. По условию, v₁ = 2.5 * v₂.

Линейные скорости связаны с радиусами следующим образом:

• v₁ = R * ω (где ω - угловая скорость)
• v₂ = (R - r) * ω

Теперь подставим v₂ в первое уравнение:

• v₂ = (R - 0.05) * ω
• v₁ = R * ω = 2.5 * (R - 0.05) * ω

Убираем ω из уравнения:

• R = 2.5 * (R - 0.05)

Раскроем скобки:

• R = 2.5R - 0.125

Переносим все R в одну сторону:

• 0.5R = 0.125

Теперь делим обе стороны на 0.5:

• R = 0.25 м = 25 см

Таким образом, радиус колеса R равен 25 см.

Сначала найдем общее количество радианов, которые колесо прошло:

• 1 об = 2π рад
• N = 10 об = 10 * 2π = 20π рад

Теперь используем формулу для углового ускорения:

• ω = ω₀ + ε * t

Так как начальная угловая скорость ω₀ = 0 (колесо начинает с покоя), у нас остается:

• 20 = ε * t

Теперь нам нужно найти время t. Мы можем использовать формулу для углового перемещения:

• θ = ω₀ * t + 0.5 * ε * t²

Так как ω₀ = 0, у нас остается:

• 20π = 0.5 * ε * t²

Теперь выразим t из первого уравнения:

• t = 20 / ε

Подставим t во второе уравнение:

• 20π = 0.5 * ε * (20 / ε)²

Упрощаем:

• 20π = 0.5 * ε * (400 / ε²)

Умножим обе стороны на 2ε²:

• 40π * ε² = 400

Теперь делим обе стороны на 40π:

• ε² = 10 / π

Итак, угловое ускорение ε = √(10 / π) рад/с².

3. Какое угловое ускорение ε колеса и число оборотов N колеса за время t = 1 мин, если оно вращается равноускоренно и приобретает частоту n = 720 об/мин?

Сначала переведем частоту в радианы в секунду:

• n = 720 об/мин = 720 / 60 = 12 об/с
• ω = 12 * 2π = 24π рад/с

Используем формулу:

• ω = ω₀ + ε * t

Начальная угловая скорость ω₀ = 0, тогда:

• 24π = ε * 60

Теперь найдем угловое ускорение:

• ε = 24π / 60 = 4π / 10 = 0.4π рад/с²

Теперь найдем число оборотов N:

• θ = ω₀ * t + 0.5 * ε * t² = 0 + 0.5 * (0.4π) * (60)²

Теперь подставим значения:

• θ = 0.5 * 0.4π * 3600 = 720π рад

Переведем в обороты:

• N = θ / (2π) = 720π / (2π) = 360 об

Таким образом, угловое ускорение ε = 0.4π рад/с², а число оборотов N = 360 об.

4. Какое угловое ускорение ε колеса и число оборотов N колеса за время t = 1 мин, если оно вращается равнозамедленно и уменьшило свою частоту с n₁ = 300 об/мин до n₂ = 180 об/мин?

Сначала переведем частоты в радианы в секунду:

• n₁ = 300 об/мин = 300 / 60 = 5 об/с
• n₂ = 180 об/мин = 180 / 60 = 3 об/с

Теперь найдем угловые скорости:

• ω₁ = 5 * 2π = 10π рад/с
• ω₂ = 3 * 2π = 6π рад/с

Используем формулу для углового ускорения:

• ω₂ = ω₁ + ε * t

Время t = 60 с, подставляем значения:

• 6π = 10π + ε * 60

Решаем уравнение:

• ε * 60 = 6π - 10π = -4π

Теперь находим ε:

• ε = -4π / 60 = -π / 15 рад/с²

Теперь найдем общее угловое перемещение θ:

• θ = ω₁ * t + 0.5 * ε * t²

Подставляем значения:

• θ = 10π * 60 + 0.5 * (-π / 15) * (60)²

Упрощаем:

• θ = 600π - 0.5 * π / 15 * 3600
• θ = 600π - 12π = 588π рад

Теперь переведем в обороты:

• N = θ / (2π) = 588π / (2π) = 294 об

Таким образом, угловое ускорение ε = -π / 15 рад/с², а число оборотов N = 294 об.