Задача 4: Нам нужно найти косинус угла между векторами AB и DC. Для этого сначала найдем координаты этих векторов.

1. Найдем вектор AB:

• Координаты точки A: (3, 5, 7)
• Координаты точки B: (6, 4, 2)

Вектор AB можно найти по формуле: AB = B - A. То есть:

• AB = (6 - 3, 4 - 5, 2 - 7) = (3, -1, -5)

2. Теперь найдем вектор DC:

• Координаты точки C: (1, 2, 3)
• Координаты точки D: (5, 4, 3)

Вектор DC также находим по формуле: DC = C - D. То есть:

• DC = (1 - 5, 2 - 4, 3 - 3) = (-4, -2, 0)

3. Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и DC:

Скалярное произведение определяется как:

AB * DC = (3 * -4) + (-1 * -2) + (-5 * 0) = -12 + 2 + 0 = -10

4. Найдем длины векторов AB и DC:

• Длина AB = sqrt(3^2 + (-1)^2 + (-5)^2) = sqrt(9 + 1 + 25) = sqrt(35)
• Длина DC = sqrt((-4)^2 + (-2)^2 + 0^2) = sqrt(16 + 4 + 0) = sqrt(20)

5. Теперь можем найти косинус угла между векторами:

cos(θ) = (AB * DC) / (|AB| * |DC|)

cos(θ) = -10 / (sqrt(35) * sqrt(20))

cos(θ) = -10 / (sqrt(700))

Таким образом, косинус угла между векторами AB и DC равен -10 / sqrt(700).

Задача 5: Нам нужно найти координаты точки D, если известен параллельный перенос точки A в точку B и аналогичный перенос для точки C в точку D.

1. Найдем вектор переноса от A к B:

• Координаты точки A: (-16, 12, -10)
• Координаты точки B: (6, -3, 4)

Вектор переноса можно найти по формуле: B - A. То есть:

• Перенос = (6 - (-16), -3 - 12, 4 - (-10)) = (6 + 16, -3 - 12, 4 + 10) = (22, -15, 14)

2. Теперь применим этот вектор переноса к точке C, чтобы найти координаты точки D:

• Координаты точки C: (15, 17, -19)

Теперь добавим вектор переноса к точке C:

• D = C + Перенос = (15 + 22, 17 - 15, -19 + 14) = (37, 2, -5)

Таким образом, координаты точки D равны (37, 2, -5).