Для нахождения косинуса угла между плоскостями BCD1 и ADC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определим нормали к плоскостям.

Плоскость BCD1 образована точками B, C и D1, а плоскость ADC1 образована точками A, D и C1. Для нахождения косинуса угла между этими плоскостями, нам нужно найти нормали к этим плоскостям.

Шаг 2: Найдем координаты вершин параллелепипеда.

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 8, 0)
• D(0, 8, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(4, 0, 3)
• C1(4, 8, 3)
• D1(0, 8, 3)

Шаг 3: Найдем векторы, лежащие в плоскостях.

Для плоскости BCD1:

• Вектор BC: C - B = (4, 8, 0) - (4, 0, 0) = (0, 8, 0)
• Вектор BD1: D1 - B = (0, 8, 3) - (4, 0, 0) = (-4, 8, 3)

Теперь найдем нормаль к плоскости BCD1, используя векторное произведение векторов BC и BD1:

• n1 = BC x BD1 = (0, 8, 0) x (-4, 8, 3)

Вычислим это произведение:

• n1 = |i j k|
• |0 8 0|
• |-4 8 3|

Раскроем определитель:

• n1 = (8*3 - 0*8)i - (0*3 - 0*(-4))j + (0*8 - (-4)*8)k = 24i + 32k

Таким образом, нормаль к плоскости BCD1: n1 = (24, 0, 32).

Для плоскости ADC1:

• Вектор AD: D - A = (0, 8, 0) - (0, 0, 0) = (0, 8, 0)
• Вектор AC1: C1 - A = (4, 8, 3) - (0, 0, 0) = (4, 8, 3)

Теперь найдем нормаль к плоскости ADC1:

• n2 = AD x AC1 = (0, 8, 0) x (4, 8, 3)

Вычислим это произведение:

• n2 = |i j k|
• |0 8 0|
• |4 8 3|

Раскроем определитель:

• n2 = (8*3 - 0*8)i - (0*3 - 0*4)j + (0*8 - 4*8)k = 24i - 32k

Таким образом, нормаль к плоскости ADC1: n2 = (24, 0, -32).

Шаг 4: Найдем косинус угла между нормалями.

Косинус угла между двумя векторами n1 и n2 можно найти по формуле:

cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|),

Сначала найдем скалярное произведение:

• n1 * n2 = (24, 0, 32) * (24, 0, -32) = 24*24 + 0*0 + 32*(-32) = 576 - 1024 = -448.

Теперь найдем длины векторов:

• |n1| = sqrt(24^2 + 0^2 + 32^2) = sqrt(576 + 0 + 1024) = sqrt(1600) = 40.
• |n2| = sqrt(24^2 + 0^2 + (-32)^2) = sqrt(576 + 0 + 1024) = sqrt(1600) = 40.

Теперь подставим все значения в формулу:

• cos(θ) = -448 / (40 * 40) = -448 / 1600 = -0.28.

Ответ: Косинус угла между плоскостями BCD1 и ADC1 равен -0.28.