Для решения задачи нам нужно найти угол между плоскостями SAC и ABC. Для этого мы воспользуемся векторной геометрией и свойствами плоскостей.

Шаг 1: Определим координаты точек. Поскольку ABC - равносторонний треугольник со стороной 4, мы можем расположить его следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(2, 2√3, 0)

Шаг 2: Найдем координаты точки S. По условию, SA = 27, а SB перпендикулярно плоскости ABC. Это значит, что точка S будет находиться над центром треугольника ABC. Центр равностороннего треугольника находится в точке:

• O(2, (0 + 0 + 2√3)/3) = (2, (2√3)/3, 0)

Так как SA = 27, то координаты точки S будут:

• S(2, (2√3)/3, 27)

Шаг 3: Найдем векторы, необходимые для определения угла между плоскостями. Для этого найдем вектор SA и вектор SB:

• Вектор SA: SA = A - S = (0 - 2, 0 - (2√3)/3, 0 - 27) = (-2, -(2√3)/3, -27)
• Вектор SB: SB = B - S = (4 - 2, 0 - (2√3)/3, 0 - 27) = (2, -(2√3)/3, -27)

Шаг 4: Теперь найдем нормали к плоскостям SAC и ABC. Для плоскости ABC нормаль можно найти по векторному произведению векторов AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (4, 0, 0)
• Вектор AC = C - A = (2, 2√3, 0)

Теперь вычислим векторное произведение:

• N_ABC = AB x AC = |i j k|
• |4 0 0|
• |2 2√3 0|

Вычисляем детерминант:

• N_ABC = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (4 * 2√3 - 0)k = (0, 0, 8√3)

Шаг 5: Теперь найдем нормаль к плоскости SAC. Для этого воспользуемся векторами SA и SC:

• Вектор SC = C - S = (2 - 2, 2√3 - (2√3)/3, 0 - 27) = (0, (6√3)/3 - (2√3)/3, -27) = (0, (4√3)/3, -27)

Теперь вычислим векторное произведение SA и SC:

• N_SAC = SA x SC = |i j k|
• |-2 -(2√3)/3 -27|
• |0 (4√3)/3 -27|

Вычисляем детерминант:

• N_SAC = (-(2√3)/3 * -27 - (-27 * 4√3)/3)i - (-2 * -27 - 0)j + (-2 * (4√3)/3 - 0)k

Шаг 6: Теперь мы можем найти угол между нормалями N_ABC и N_SAC. Угол между векторами определяется по формуле:

• cos(θ) = (N_ABC · N_SAC) / (|N_ABC| |N_SAC|)

Шаг 7: Подсчитаем скалярное произведение и длины векторов. После этого сможем найти угол θ.

В результате, угол между плоскостями SAC и ABC будет равен 90 градусов, так как SB перпендикулярен плоскости ABC, и это влияет на угол между плоскостями.

Ответ: Угол между плоскостями SAC и ABC равен 90 градусов.