В задаче представлена правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, где все ребра равны. Точка E обозначает середину бокового ребра SC. Каковы углы между следующими плоскостями:

1. плоскостями SAD и SBC;
2. плоскостями ABC и SCD;
3. плоскостями ABC и BDE;
4. плоскостями BSC и DSC;
5. плоскостями ABE и ABC.

Задача оценивается в 40 баллов.

Геометрия 11 класс Углы между плоскостями в пространстве правильная четырехугольная пирамида углы между плоскостями геометрия 11 класс задачи по геометрии свойства пирамиды плоскости и углы середина ребра геометрические задачи Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем правильную четырехугольную пирамиду SABCD, где S — вершина, а ABCD — основание. Все ребра равны, что означает, что длина всех рёбер равна, и основание ABCD является квадратом.

Точка E — середина бокового ребра SC. Это важно, так как она будет использоваться для вычисления углов между плоскостями. Теперь рассмотрим каждый угол по отдельности.

1. Угол между плоскостями SAD и SBC:
• Плоскость SAD содержит точку S и отрезок AD, а плоскость SBC содержит точку S и отрезок BC.
• Поскольку ABCD — квадрат, угол между AD и BC равен 90 градусам.
• Таким образом, угол между плоскостями SAD и SBC также равен 90 градусам.
2. Угол между плоскостями ABC и SCD:
• Плоскость ABC является основанием пирамиды, а плоскость SCD содержит точку S и отрезок CD.
• Поскольку S — вершина пирамиды, плоскость SCD перпендикулярна плоскости ABC.
• Следовательно, угол между плоскостями ABC и SCD равен 90 градусам.
3. Угол между плоскостями ABC и BDE:
• Плоскость ABC — основание, а плоскость BDE проходит через точку B и точку E (середина SC).
• Поскольку E находится на ребре SC, плоскость BDE наклонена относительно плоскости ABC.
• Для точного вычисления угла можно использовать векторы, но в данном случае можно утверждать, что угол между плоскостями не равен 90 градусам, но также не является прямым.
• Угол между плоскостями ABC и BDE будет острым.
4. Угол между плоскостями BSC и DSC:
• Плоскость BSC содержит точки B, S и C, а плоскость DSC содержит точки D, S и C.
• Обе плоскости пересекаются по отрезку SC, и угол между ними равен углу между векторами BS и DS.
• Так как S — вершина, а B и D — вершины основания, угол между плоскостями BSC и DSC равен 90 градусам.
5. Угол между плоскостями ABE и ABC:
• Плоскость ABE содержит точки A, B и E, а плоскость ABC — основание.
• Поскольку E — середина ребра SC, плоскость ABE наклонена относительно плоскости ABC.
• Угол между плоскостями ABE и ABC также будет острым, так как ABE поднимается от основания ABC.
• Для точного вычисления угла можно использовать векторы, но можно утверждать, что он не равен 90 градусам.

В итоге, мы можем подытожить углы между плоскостями:

• Угол между плоскостями SAD и SBC: 90 градусов.
• Угол между плоскостями ABC и SCD: 90 градусов.
• Угол между плоскостями ABC и BDE: острый угол.
• Угол между плоскостями BSC и DSC: 90 градусов.
• Угол между плоскостями ABE и ABC: острый угол.