Как можно решить тригонометрическое уравнение:

2sin²x-3cosx-3=0, в интервале [π;3π]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения интервал [π;3π] математика 11 класс sin2x cosX математические методы анализ уравнений Новый

Для решения тригонометрического уравнения 2sin²x - 3cosx - 3 = 0 в интервале [π; 3π], начнем с преобразования уравнения.

Мы знаем, что sin²x можно выразить через cosx с помощью формулы: sin²x = 1 - cos²x. Подставим это в уравнение:

• 2(1 - cos²x) - 3cosx - 3 = 0

Теперь упростим уравнение:

• 2 - 2cos²x - 3cosx - 3 = 0
• -2cos²x - 3cosx - 1 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 2cos²x + 3cosx + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

• ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 3, c = 1.

Находим дискриминант:

• D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

• cosx₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √1) / (2 * 2) = (-3 + 1) / 4 = -2 / 4 = -0.5.
• cosx₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √1) / (2 * 2) = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1.

Теперь мы нашли два значения cosx: -0.5 и -1.

Следующий шаг - найдем углы x, соответствующие этим значениям в заданном интервале [π; 3π].

• Для cosx = -0.5:
• Угол, при котором cosx = -0.5, равен 2π/3 и 4π/3.
• В интервале [π; 3π] это будет:
• 4π/3 (попадает в интервал).
• 2π/3 (не попадает в интервал).
• Для cosx = -1:
• Угол, при котором cosx = -1, равен π.
• Это значение попадает в наш интервал.

Таким образом, решения нашего уравнения в интервале [π; 3π]:

• x₁ = 4π/3
• x₂ = π

Ответ: x = π и x = 4π/3.