Похожие вопросы
2025-10-31 02:38:31
Как найти площадь криволинейной трапеции, которая ограничена следующими линиями:
- y = -x² + 4x + 5,
- y = 0,
- x = 0,
- x = 4?
Опишите, как построить график функции, заданные прямые и изобразить криволинейную трапецию. Также укажите, как применять формулу Ньютона – Лейбница для нахождения площади этой трапеции и как вычислить саму площадь.
Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь криволинейной трапеции график функции формула Ньютона – Лейбница вычисление площади интегрирование математический анализ ограниченные линии функции площадь под кривой 11 класс математика Новый
2025-10-31 02:38:57
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс поэтапно.
Шаг 1: Построение графика функцииНачнем с построения графика функции y = -x² + 4x + 5. Это квадратичная функция, и ее график будет параболой, открытой вниз.
- Для нахождения координат вершины параболы используем формулу x = -b/2a, где a = -1, b = 4. Таким образом, x = -4 / (2 * -1) = 2.
- Теперь подставим x = 2 в уравнение функции, чтобы найти y: y = -2² + 4*2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. Вершина параболы находится в точке (2, 9).
- Найдем пересечения функции с осью абсцисс (y = 0): решаем уравнение -x² + 4x + 5 = 0. Используем дискриминант: D = 4² - 4*(-1)*5 = 16 + 20 = 36. Корни: x1 = (4 - √36)/(-2) = 1, x2 = (4 + √36)/(-2) = 5.
- Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (1, 0) и (5, 0).
Теперь мы можем построить график функции, а также линии y = 0 (ось x) и вертикальные линии x = 0 и x = 4. Обозначим области, ограниченные этими линиями, чтобы выделить криволинейную трапецию.
Шаг 2: Определение границ интегрированияКриволинейная трапеция ограничена следующими границами:
- Снизу: y = 0 (ось x)
- Сверху: y = -x² + 4x + 5
- Слева: x = 0
- Справа: x = 4
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, мы применяем интеграл:
Площадь S = ∫[0, 4] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) = -x² + 4x + 5, g(x) = 0.
Шаг 4: Вычисление интегралаТеперь вычислим интеграл:
- Запишем интеграл: S = ∫[0, 4] (-x² + 4x + 5) dx.
- Находим первообразную: F(x) = -1/3 * x³ + 2x² + 5x.
- Теперь подставляем пределы интегрирования:
- F(4) = -1/3 * 4³ + 2 * 4² + 5 * 4 = -64/3 + 32 + 20 = -64/3 + 52 = 52 - 64/3 = 156/3 - 64/3 = 92/3.
- F(0) = 0.
- Теперь находим площадь: S = F(4) - F(0) = 92/3 - 0 = 92/3.
Таким образом, площадь криволинейной трапеции составляет 92/3 единиц площади.