Чтобы решить уравнение 2tg² x + 3tg x - 1 = 0, начнем с замены переменной. Обозначим tg x как t. Таким образом, уравнение преобразуется в квадратное уравнение:

2t² + 3t - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

• a = 2
• b = 3
• c = -1

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

t = (-(3) ± √((3)² - 4 * (2) * (-1))) / (2 * (2))

Сначала вычислим дискриминант:

• Дискриминант = 3² - 4 * 2 * (-1) = 9 + 8 = 17

Теперь подставим дискриминант в формулу:

t = (-3 ± √17) / 4

Таким образом, у нас есть два значения для t:

t₁ = (-3 + √17) / 4

t₂ = (-3 - √17) / 4

Теперь найдем числовые значения:

Для t₁:

t₁ ≈ (-3 + 4.123) / 4 ≈ 0.28075

Для t₂:

t₂ ≈ (-3 - 4.123) / 4 ≈ -1.78075

Теперь мы вернемся к нашей первоначальной переменной tg x:

tg x = t₁ или tg x = t₂

Решим каждое из уравнений отдельно:

1. tg x = 0.28075

Для этого уравнения мы можем найти x, используя арктангенс:

x₁ = arctg(0.28075)

Также не забываем, что тангенс имеет период π, поэтому общее решение:

x₁ = arctg(0.28075) + kπ, где k - целое число.

2. tg x = -1.78075

Аналогично, мы находим:

x₂ = arctg(-1.78075)

И общее решение:

x₂ = arctg(-1.78075) + kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения. Не забудьте проверить значения на предмет нахождения в нужном интервале, если это требуется в задаче.