Как решить уравнение 6 cos²x + cos x - 1 = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения Тригонометрия cos cos2x математические уравнения 11 класс задачи по математике Новый

Чтобы решить уравнение 6 cos²x + cos x - 1 = 0, начнем с того, что это квадратное уравнение относительно cos x. Мы можем обозначить cos x как y, чтобы упростить запись уравнения:

1. Подстановка:

Обозначим y = cos x. Тогда уравнение принимает вид:

6y² + y - 1 = 0

2. Решение квадратного уравнения:

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac,

где a = 6, b = 1, c = -1.

Подставим значения:

• D = 1² - 4 * 6 * (-1)
• D = 1 + 24
• D = 25

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.

3. Находим корни:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

y = (-b ± √D) / (2a).

Подставим найденные значения:

• y1 = (-1 + √25) / (2 * 6) = ( -1 + 5) / 12 = 4 / 12 = 1/3
• y2 = (-1 - √25) / (2 * 6) = ( -1 - 5) / 12 = -6 / 12 = -1/2

Таким образом, мы получили два значения для y:

• y1 = 1/3
• y2 = -1/2

4. Возвращаемся к cos x:

Теперь мы должны найти x, зная, что:

• cos x = 1/3
• cos x = -1/2

5. Находим значения x:

Для cos x = 1/3:

Используя арккосинус, мы можем найти один из углов:

x = arccos(1/3). Это значение будет в первой и четвертой четвертях:

• x1 = arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z
• x2 = -arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z

Для cos x = -1/2:

Здесь мы знаем, что cos x = -1/2 в третьей и четвертой четвертях:

• x3 = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z
• x4 = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z

6. Итог:

Таким образом, общее решение уравнения 6 cos²x + cos x - 1 = 0 имеет вид:

• x = arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z
• x = -arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z
• x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z
• x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z