Второй замечательный предел связан с поведением функции при стремлении переменной к нулю. Формулируется он следующим образом:

Формула второго замечательного предела:

lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1

Теперь давайте разберем, что это значит, и как мы можем это доказать.

1. Понимание предела:

   Когда мы говорим о пределе функции sin(x) / x при x, стремящемся к 0, мы хотим узнать, к какому значению стремится эта дробь, когда x становится все ближе и ближе к нулю.

2. Графическое представление:

   Если мы нарисуем графики функций y = sin(x) и y = x, то увидим, что при x, стремящемся к нулю, обе функции приближаются друг к другу.

3. Доказательство предела:

   Существует несколько способов доказать этот предел, включая использование разложения в ряд Тейлора для функции sin(x):

   • Разложение sin(x) в ряд Тейлора: sin(x) = x - x^3/6 + O(x^5).
   • Подставим это разложение в предел: (sin(x) / x) = (x - x^3/6 + O(x^5)) / x = 1 - x^2/6 + O(x^4).
   • Теперь, когда x стремится к 0, все члены, содержащие x, исчезают, и мы получаем: lim (x -> 0) (sin(x) / x) = 1.

Таким образом, мы видим, что второй замечательный предел показывает важное свойство функции sin(x) вблизи нуля и часто используется в математике и физике.