Можете ли вы решить уравнение: sin(4x) = cos(π - 2x)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение синус косинус решение Тригонометрия математика 11 класс sin cos x Новый

Конечно, давайте решим уравнение sin(4x) = cos(π - 2x).

Первым шагом мы воспользуемся тригонометрическим тождеством, которое гласит, что cos(π - α) = -cos(α). Применим это к нашему уравнению:

• cos(π - 2x) = -cos(2x)

Теперь подставим это в уравнение:

• sin(4x) = -cos(2x)

Теперь мы можем использовать еще одно тригонометрическое тождество: sin(α) = -cos(β) можно переписать как sin(α) + cos(β) = 0. В нашем случае это будет выглядеть так:

• sin(4x) + cos(2x) = 0

Следующий шаг — выразить одно из значений через другое. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1, чтобы выразить cos(2x) через sin(4x). Однако в данном случае это не так просто. Вместо этого мы можем рассмотреть уравнение в виде:

• sin(4x) = -cos(2x)

Теперь давайте рассмотрим, что sin(4x) и cos(2x) — это периодические функции. Мы можем использовать периодичность синуса и косинуса для нахождения общего решения. Период функции sin(4x) равен π/2, а период функции cos(2x) равен π.

Для нахождения решений мы можем использовать следующие равенства:

• 4x = π/2 + kπ, где k — целое число (для sin)
• 2x = (2n + 1)π/2, где n — целое число (для cos)

Теперь решим каждое из этих уравнений:

1. Решим 4x = π/2 + kπ:
• x = (π/8) + (kπ/4)
2. Решим 2x = (2n + 1)π/2:
• x = (2n + 1)π/4

Теперь у нас есть два вида решений. Мы можем записать общее решение:

• x = (π/8) + (kπ/4), k ∈ Z
• x = (2n + 1)π/4, n ∈ Z

Таким образом, мы получили два семейства решений для данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными значениями, не стесняйтесь спрашивать!