Помогите, пожалуйста, решить олимпиадную задачу: cos(arccos(x^2-3)) = arccos(cos(5x-6-x^2)).

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения олимпиадная задача математика 11 класс решение уравнения тригонометрические функции cos arccos algebra задачи по математике подготовка к олимпиаде Новый

Давайте решим уравнение cos(arccos(x^2-3)) = arccos(cos(5x-6-x^2)) шаг за шагом.

1. Начнем с левой части уравнения: cos(arccos(x^2-3)). По определению функции арккосинуса, мы знаем, что cos(arccos(a)) = a, где a находится в пределах от -1 до 1. Таким образом, мы можем записать:

• cos(arccos(x^2-3)) = x^2 - 3, если -1 ≤ x^2 - 3 ≤ 1.

2. Теперь найдем, при каких значениях x выполняется условие -1 ≤ x^2 - 3 ≤ 1.

• Решим неравенство x^2 - 3 ≥ -1:
• Это эквивалентно x^2 ≥ 2.
• Следовательно, x ≤ -√2 или x ≥ √2.
• Теперь решим неравенство x^2 - 3 ≤ 1:
• Это эквивалентно x^2 ≤ 4.
• Следовательно, -2 ≤ x ≤ 2.

3. Объединим оба условия:

• -2 ≤ x ≤ -√2 или √2 ≤ x ≤ 2.

4. Теперь перейдем к правой части уравнения: arccos(cos(5x - 6 - x^2)). Здесь мы должны учесть, что функция arccos возвращает значение в диапазоне от 0 до π. Поэтому, чтобы упростить, мы можем написать:

• arccos(cos(a)) = a, если a находится в диапазоне [0, π].
• В противном случае, a можно выразить как 2π - a или -a (в зависимости от значения).

5. Теперь нам нужно решить x^2 - 3 = 5x - 6 - x^2 для тех значений x, которые удовлетворяют условиям, найденным ранее:

• Сначала упростим уравнение:
• 2x^2 - 5x + 3 = 0.
• Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = (-5)^2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1.
• Корни уравнения: x = (5 ± √1) / 4 = (5 ± 1) / 4.
• Таким образом, x1 = 3/2 и x2 = 1.

6. Теперь проверим, какие из найденных корней удовлетворяют первоначальным условиям:

• Для x = 3/2: это значение попадает в диапазон [√2, 2].
• Для x = 1: это значение не удовлетворяет ни одному из условий, так как 1 не находится в диапазоне -2 ≤ x ≤ -√2 или √2 ≤ x ≤ 2.

7. Таким образом, единственным решением уравнения является x = 3/2.

Ответ: x = 3/2.