В этом тексте я подробно объясню разделы статистика и вероятность, которые изучаются в 11 классе. Постараюсь дать ясные определения, показать практические шаги решения типичных задач и привести примеры, которые помогут закрепить понимание. Важно отдать себе отчёт, что статистика ориентирована на сбор, описание и интерпретацию данных, тогда как вероятность — это теория случайных явлений и способов оценки того, насколько вероятно наступление событий.

Сначала разберёмся с основными понятиями описательной статистики. Набор элементов, которые мы анализируем, называется выборкой (или генеральной совокупностью). Для числовых данных обычно вычисляют: среднее арифметическое, медиану, моду, размах, дисперсию и стандартное отклонение. Среднее арифметическое — это сумма всех значений, делённая на их количество: mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n. Медиана — это центральное значение при упорядочивании данных; если количество элементов чётно, медиана равна среднему двух средних значений. Мода — значение, которое встречается чаще всего. Размах = max - min. Дисперсия показывает, насколько значения в среднем отклоняются от среднего: variance = sum((xi - mean)^2) / n (или / (n-1) для несмещённой оценки выборочной дисперсии). Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии и обладает тем же размерным измерением, что и исходные данные.

Пример подсчёта на практике. Допустим, есть данные: 3, 7, 7, 10, 13. Шаги решения:

1. Упорядочить (в данном случае уже упорядочены).
2. Среднее: (3+7+7+10+13)/5 = 40/5 = 8.
3. Медиана: центральный элемент = 7.
4. Мода: 7 (встречается дважды).
5. Размах: 13-3 = 10.
6. Дисперсия: ((3-8)^2 + (7-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (13-8)^2)/5 = (25+1+1+4+25)/5 = 56/5 = 11.2.
7. Стандартное отклонение: sqrt(11.2) ≈ 3.35.

Этот пример показывает, как систематически применять формулы и как интерпретировать полученные величины: среднее равно 8, но большинство значений расположено рядом с 7–10, что отражено в стандартном отклонении.

Переходим к вероятности. Сначала определим пространство элементарных исходов (S) и событие (A). Вероятность классического события при равновероятных исходах: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число исходов. Существуют и другие подходы: частотный (эмпирический) и аксиоматический. Для практики важно уметь работать с комбинациями: перестановки, сочетания и размещения. Формулы (в простом тексте):

• Перестановки n! (для всех вариантов перестановки n объектов).
• Сочетания C(n, k) = n! / (k! (n-k)!) — выбор k объектов без учёта порядка.
• Размещения A(n, k) = n! / (n-k)! — выбор с учётом порядка.

Эти формулы часто используются при подсчёте числа благоприятных исходов в задачах на вероятность.

Рассмотрим типичную задачу: из колоды 36 карт вытаскивают 2 карты подряд без возвращения. Найти вероятность, что обе карты туз. Решение по шагам:

1. Общее число способов выбрать 2 карты из 36: C(36,2) = 36*35/2 = 630.
2. Число способов выбрать 2 туза: C(4,2) = 6.
3. По формуле классической вероятности: P = 6/630 = 1/105 ≈ 0.00952.

Альтернативный пошаговый путь через условную вероятность: P(first is ace) = 4/36, P(second is ace | first is ace) = 3/35, итого P = (4/36)*(3/35) = 12/1260 = 1/105 — тот же результат.

Очень важная часть — условная вероятность и независимость событий. Условная вероятность P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). События A и B независимы, если P(A ∩ B) = P(A)P(B), иначе нет. Теорема Байеса — мощный инструмент для обратных задач (о причинах по следствию). Формула Байеса: P(H_i|A) = P(A|H_i)P(H_i) / sum_j P(A|H_j)P(H_j). Практический пример: тест на болезнь с чувствительностью 99% и специфичностью 95%, распространённость болезни 1%. Какова вероятность наличия болезни при положительном тесте? Решение шагами:

1. P(болезнь) = 0.01, P(здоров) = 0.99.
2. P(положительный|болен) = 0.99, P(положительный|здоров) = 0.05.
3. Используем Байес: P(болен|положительный) = 0.99*0.01 / (0.99*0.01 + 0.05*0.99) ≈ 0.0099 / (0.0099 + 0.0495) ≈ 0.1667 ≈ 16.7%.

Этот пример показывает, как редкое событие и ложноположительная реакция превращают высокую чувствительность в относительно низкую положительную прогностическую ценность.

Далее — дискретные распределения: самое важное для школьного курса — биномиальное распределение и нормальное распределение как приближение. Для биномиального: вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p равна C(n,k) p^k (1-p)^(n-k). Пример: вероятность ровно 3 орлов при 5 подбрасываниях честной монеты: C(5,3)*(1/2)^3*(1/2)^2 = 10 * 1/32 = 10/32 = 0.3125. Нормальное распределение важно как предельное: центральная предельная теорема говорит, что сумма большого числа независимых случайных величин с конечной дисперсией приближается к нормальному распределению. Это объясняет, почему нормальное распределение часто встречается в природе и технике.

Наконец, несколько методических советов для экзамена и практики:

• Всегда выясняйте, равновероятны ли исходы — это определяет метод подсчёта вероятности.
• При работе с выборками ясно указывайте, используете ли вы n или n-1 в формуле дисперсии (разность между генеральной и выборочной оценкой).
• Чётко записывайте события и пространство исходов, особенно в задачах с условной вероятностью и пересечениями.
• Для сложных комбинационных задач попробуйте разбить задачу на шаги и использовать правило произведения (перемножение числа вариантов на разных этапах).
• Проверяйте граничные случаи: p=0, p=1, n маленькое — это помогает заметить ошибку в рассуждении.

Статистика и вероятность — это не только формулы, но и умение интерпретировать результаты: среднее и дисперсия дают числовую картину, графики (гистограммы, коробчатые диаграммы) помогают увидеть форму распределения, а вероятностные модели позволяют оценивать неопределённость и принимать обоснованные решения.

В заключение: совершенствование навыков приходит через практику задач разного типа — от простых вычислений средних до применения теоремы Байеса и подсчёта вероятностей сложных событий. Обращайте внимание на контекст задач, не забывайте проверять допущения (независимость, равновероятность, дискретность или непрерывность) и всегда объясняйте свои шаги — именно так строится математическое мышление в статистике и теории вероятности.