Тема диагонали и расстояния в пространстве объединяет несколько важнейших приёмов стереометрии: вычисление длин, применение ортогональных проекций, использование векторов и смешанного произведения. Для одиннадцатиклассника это ключевой набор инструментов, который помогает решать типовые и олимпиадные задачи: найти длину пространственной диагонали, расстояние от точки до плоскости, от точки до прямой и между двумя скрещивающимися прямыми. В этом тексте я подробно объясню основные формулы, докажу их геометрически и приведу пошаговые примеры вычислений, чтобы вы могли уверенно применять эти приёмы на практике.

Начнём с самой простой и часто встречающейся ситуации — диагонали прямоугольного параллелепипеда (включая куб и прямоугольный брус). Пусть параллелепипед имеет длины рёбер вдоль трёх координат равные a, b, c. Возьмём одну грань: диагональ этой грани по теореме Пифагора равна sqrt(a^2 + b^2). Пространственную диагональ всего тела можно получить, применяя Пифагорову теорему ещё раз — рассматривая треугольник, одна сторона которого является диагональю грани (длина sqrt(a^2 + b^2)), а вторая — третье ребро c. Итак, длина пространственной диагонали D равна sqrt( (sqrt(a^2 + b^2))^2 + c^2 ) = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 ). Это простое и удобное правило: длина диагонали прямоугольного параллелепипеда = sqrt(a^2 + b^2 + c^2). Например, в брусе со сторонами 3, 4 и 12 получаем диагональ sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2) = sqrt(9+16+144) = sqrt(169) = 13. Важно уметь объяснить, почему формула верна, — через последовательное применение Пифагора: грань, затем объёмный треугольник.

Ещё одно важное свойство: все пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит каждую диагональ пополам. Это легко показать в координатах: если параллелепипед задан векторно, то противоположные вершины имеют суммы координат, и середина каждой диагонали совпадает. Геометрический смысл — параллелепипед симметричен относительно своего центра; эта точка является центром симметрии и делит диагонали пополам. Практическое применение: если требуется найти точку пересечения диагоналей или координаты её, достаточно усреднить координаты противоположных вершин.

Перейдём к вычислению расстояния от точки до плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а точка имеет координаты (x0, y0, z0), то расстояние d от точки до плоскости равно |A x0 + B y0 + C z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2). Почему так? Нормаль плоскости — вектор n = (A, B, C). Проекция вектора от какой-либо точки на плоскости до заданной точки на направление нормали даёт именно перпендикулярное расстояние, а знаменатель — длина нормали, поэтому деление нормализует выражение. Пример: плоскость через точки (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) имеет уравнение x + y + z = 1. Расстояние от точки (1,1,1) до этой плоскости равно |1+1+1-1| / sqrt(1+1+1) = 2 / sqrt(3). В учебных задачах часто требуется сначала найти уравнение плоскости по трём точкам — для этого берут два направляющих вектора плоскости, вычисляют их векторное (векторное произведение) или находят нормаль, затем подставляют в общее уравнение.

Следующий важный инструмент — расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть прямая задана точкой P0 и направляющим вектором v. Для точки P рассматриваем вектор r = P - P0. Наименьшее расстояние равняется длине компоненты r, перпендикулярной v. Его удобно вычислять через векторное произведение: d = |r × v| / |v|. Геометрический смысл: |r × v| — это площадь параллелограмма, построенного на r и v; разделив на основание |v|, получим высоту — искомое расстояние. Пример: прямая проходит через начало координат и имеет направляющий вектор v = (1,1,0); точка P = (1,2,3). Тогда r = (1,2,3). Векторное произведение r × v = (-3, 3, -1), его длина sqrt(9+9+1) = sqrt(19). Модуль v = sqrt(2). Значит, расстояние d = sqrt(19) / sqrt(2). В практических задачах часто выбирают более удобные числа, но идея всегда одна — строим векторы и используем векторное произведение или проекции.

Особое внимание заслуживает задача на расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (прямые, не пересекающиеся и не параллельные). Основной приём здесь — найти общий перпендикуляр, то есть отрезок наименьшей длины, соединяющий эти прямые и перпендикулярный обеим. Координатная формула удобна: если прямые заданы точками P1 и направлением v1, а вторая — точкой P2 и направлением v2, то расстояние равно абсолютной величине смешанного произведения (P2 - P1, v1, v2) делённой на |v1 × v2|. Иначе: d = | ( (P2 - P1) · (v1 × v2) ) | / |v1 × v2|. Геометрический вывод опирается на объём параллелепипеда: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, а объём можно выразить как площадь основания умноженная на высоту; высота как раз и есть искомое расстояние между прямыми. Приведу числовой пример: пусть прямая 1 проходит через P1 = (1,0,0) с направлением v1 = (1,1,0), прямая 2 через P2 = (0,1,1) с направлением v2 = (0,1,1). Тогда v1 × v2 = (1,-1,1), его длина sqrt(3). Вектор P2 - P1 = (-1,1,1). Смешанное произведение равно (-1,1,1) · (1,-1,1) = -1 -1 +1 = -1, модуль 1. Значит расстояние d = 1 / sqrt(3). Этот приём компактный и универсальный; если v1 × v2 = 0 (векторы параллельны), формула не применяется и требуется другая формула для параллельных прямых: d = |(P2 - P1) × v| / |v|, где v — общий направляющий вектор.

Наконец, несколько полезных замечаний и расширений, которые пригодятся при решении задач и при подготовке к экзаменам. Во-первых, угол между прямой и диагональю параллелепипеда легко находится через скалярное произведение: косинус угла между диагональю D = (a,b,c) и ребром длины a (вектор (a,0,0) в координатах) равен a / sqrt(a^2 + b^2 + c^2). Во-вторых, диагонали тетраэдра ведут себя иначе — середины отрезков, соединяющих противоположные ребра, не обязательно совпадают, в отличие от параллелепипеда. В-третьих, при практическом решении задач: всегда выбирайте систему координат удобно — часто выгодно поместить одну из прямых вдоль оси, или одну из вершин в начало координат. Это значительно упрощает вычисления и снижает вероятность ошибки. В-четвёртых, при вычислениях с векторами полезно визуально представлять проекцию: многие формулы — следствие обычной школьной геометрии (проекций, Пифагора и площади параллелограмма).

• Краткий список формул для быстрого повторения:
  • Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда: D = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).
  • Расстояние от точки до плоскости Ax+By+Cz+D=0: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).
  • Расстояние от точки P до прямой через P0 с направлением v: d = |(P - P0) × v| / |v|.
  • Расстояние между скрещивающимися прямыми (P1, v1) и (P2, v2): d = |(P2 - P1) · (v1 × v2)| / |v1 × v2|.

В завершение — методические рекомендации: при разборе задачи сначала сформулируйте, что именно требуется найти (длину, расстояние, угол), далее выберите оптимальное представление (координаты, векторы или геометрические проекции), затем выпишите все вспомогательные векторы и примените одну из приведённых формул. Проверяйте единицы измерения и адекватность ответа (например, расстояние не может быть отрицательным). Разбор нескольких примеров разной сложности укрепит интуицию: начните с вычисления диагоналей и расстояний в прямоугольных параллелепипедах, затем переходите к задачам с общими прямыми и плоскостями. Умение переводить геометрию в координаты и обратно — ключ к успешному решению задач на диагонали и расстояния в пространстве.