Задачи на нахождение целого по его части — это один из базовых типов текстовых задач в 7–9 классах, который встречается в темах про проценты, доли, пропорции, масштабы, стоимость, массу, скорость и в задачах на смеси и растворы. Суть таких задач: нам дана некоторая часть и известно, какую долю от целого она составляет (в виде дроби, процента, коэффициента или отношения). Требуется восстановить исходное целое значение. Этот навык крайне важен и в практических ситуациях: расчет цены до скидки, суммы без налога, исходного объема раствора по массе вещества, первоначальной длины по известному проценту и т. д.

Ключевая идея проста и универсальна: если известна часть и доля, которую она составляет от целого, то целое = часть / доля. В конкретных записях это выглядит так: если часть составляет a/b от целого, то целое = часть / (a/b); если часть — это p% от целого, то целое = часть / (p/100) или, что то же самое, целое = часть × 100 / p. При работе с коэффициентом k (например, «часть равна 0,6 от целого») используем целое = часть / k. Важно научиться быстро переводить формулировку задачи в удобную запись доли: в процентах, десятичной дроби или обычной дроби — и корректно выбрать, что в условии является частью, а что — долей от искомого целого.

Существует несколько удобных методов решения. Первый — пропорциональный: составить пропорцию «часть : целое = доля», а затем выразить целое. Второй — метод единицы («находим цену одной доли»): если 3/8 соответствует 24, то 1/8 — это 24/3, а целое из 8 таких долей равно (24/3) × 8. Третий — коэффициентный: осознать, что умножение на долю переводит целое в часть, а обратная операция — деление на эту долю — возвращает к целому. Выбор способа — вопрос удобства; все они приводят к одному результату.

Разберем постепенно несколько типичных случаев с подробным объяснением и проверкой.

1. Проценты: «15% класса — это 6 учеников. Сколько всего в классе?» Переводим долю: 15% = 15/100 = 0,15. Нам дана часть (6 учеников) и доля (0,15 от класса). Тогда целое = 6 / 0,15 = 40. Проверка: 15% от 40 — это 0,15 × 40 = 6, верно. Вывод: в классе 40 учеников.
2. Обычная дробь: «3/8 детали — это 24 мм. Найдите длину детали». Доля равна 3/8, часть равна 24. Целое = 24 / (3/8) = 24 × (8/3) = 8 × 8 = 64 мм. Проверка: 3/8 от 64 — это 24, верно.
3. Коэффициент: «Часть составляет 0,4 целого и равна 18. Найдите целое». Целое = 18 / 0,4 = 45. Проверка: 0,4 × 45 = 18, верно.

Часто текст задач содержит не саму долю, а дополнительное описание. Например, в задачах про скидки и налоги важно понять, что именно названо «частью»: сумма после скидки — это не доля «скидки», а остаток от целого (то есть 100% − p%). Рассмотрим это на примерах.

1. Скидка: «Товар со скидкой 20% стоит 960 рублей. Найдите цену до скидки». Со скидкой 20% покупатель платит 80% от первоначальной цены. Значит, 960 — это 80% целого. Целое = 960 × 100 / 80 = 1200 рублей. Проверка: 20% от 1200 — это 240, значит, цена после скидки 1200 − 240 = 960, верно.
2. Налог (НДС): «Цена с НДС 20% равна 1180 рублей. Найдите цену без НДС». Итоговая цена — это 120% от базовой. Значит, 1180 — это 120% целого. Целое = 1180 × 100 / 120 = 1180 / 1,2 = 983,33... рублей. Проверка: 20% от 983,33... примерно 196,67...; сложим: 983,33... + 196,67... = 1180, верно. В ответах в деньгах обычно округляют до копеек: 983,33 руб.
3. Увеличение/превышение: «Выпуск составил 125% плана и равен 250 изделий. Найдите план». Выпущено 125% от плана, значит, часть (фактический выпуск) — это 1,25 плана. Целое (план) = 250 / 1,25 = 200. Проверка: 125% от 200 — это 250.

Иногда доля задается косвенно, через отношение или масштаб. В таких случаях помогает перевод в «единицу масштаба» или «единичную долю».

1. Масштаб карты: «В масштабе 1:200 000 3 см соответствуют какому реальному расстоянию? А если 30 км — какая длина на карте?» Масштаб 1:200 000 означает, что 1 см на карте — это 200 000 см в натуре, то есть 2 км. Тогда 3 см — это 6 км. Обратная задача: 30 км — это 15 см на карте. Здесь роль «доли» выполняет коэффициент масштаба: 1 см соответствует 2 км, поэтому «целое» восстанавливаем делением/умножением через единичный пересчет.
2. Смеси и растворы: «В растворе соли 12% содержится 36 г соли. Каков общий объем раствора?» 12% от массы раствора — это масса соли. Значит, целое = 36 × 100 / 12 = 300 г. Проверка: 12% от 300 — 36 г, верно.
3. Геометрия: «Отрезок AC составляет 40% от отрезка AB и равен 12 см. Найдите AB». Целое = 12 × 100 / 40 = 30 см. Проверка: 40% от 30 — 12, верно.

Иногда в условии встречаются составные формулировки, где надо аккуратно отделить «часть» от «целого». Например: «20% класса отсутствовало, а присутствовало 24 ученика. Сколько всего в классе?» Здесь часть дана как оставшаяся после вычитания. Если 20% отсутствовало, то присутствовало 80% от класса. То есть 24 — это 80%. Целое = 24 × 100 / 80 = 30. Проверка: 20% от 30 — 6 отсутствовали; 30 − 6 = 24. Такой же подход работает при описаниях «после уменьшения на p%» и «после увеличения на p%»: после уменьшения имеем 100% − p%, после увеличения — 100% + p%.

Полезно запомнить краткий алгоритм решения задач на нахождение целого по его части:

1. Внимательно прочитайте условие и определите, что именно является частью (известное число) и что описывает долю (процент, дробь, коэффициент, масштаб).
2. Переведите долю в удобную форму: процент в десятичную дробь (p% = p/100), дробь сократите при возможности, коэффициент используйте как есть.
3. Запишите ключевую связь: целое = часть / доля. Если дана остаточная часть (после скидки, после удержания), используйте соответствующую долю: 100% − p% или 100% + p%.
4. Аккуратно выполните вычисления, следя за единицами измерения (рубли, килограммы, сантиметры, километры).
5. Сделайте проверку: вычислите долю от найденного целого и убедитесь, что она совпадает с данной частью.

Рассмотрим еще несколько развернутых примеров с пояснениями и типичными ошибками.

1. Пример с долями в виде дробей. «2/5 от всех книг — учебники. Учебников 36. Сколько всего книг?» Здесь доля равна 2/5, часть — 36. Целое = 36 / (2/5) = 36 × 5 / 2 = 90. Проверка: 2/5 от 90 — 36. Типичная ошибка: поделить 36 на 2 и умножить на 5 «в голове», но забыть, что сначала следует поделить на 2, а потом умножить на 5; другой промах — перепутать 2/5 и 5/2.
2. Пример с остатком. «После удержания налога 13% на карту поступило 8700 рублей. Какова зарплата до налога?» Если удержали 13%, значит, выплачено 87% от зарплаты. Целое = 8700 × 100 / 87 ≈ 10000. Проверка: 13% от 10000 — 1300; 10000 − 1300 = 8700, верно. Типичная ошибка — делить на 0,13 вместо 0,87, путая «налог» и «чистую сумму».
3. Пример с превышением. «Спортсмен пробежал 110% своей обычной дистанции, это 5,5 км. Какова обычная дистанция?» Целое = 5,5 / 1,10 = 5 км. Важно: если процент больше 100, часть больше целого — ответ должен получиться меньше исходной части, что и произошло.
4. Растворы, массовая доля. «Медный сплав содержит 8% олова. В куске сплава 400 г. Сколько граммов олова?» Здесь обратная задача (на нахождение части), но полезна для проверки понимания: 8% от 400 — это 32 г. Если «по части найти целое», формулировка звучала бы: «В сплаве 32 г олова, массовая доля олова 8%. Найдите массу сплава». Тогда целое = 32 × 100 / 8 = 400 г.

Чтобы решать быстро и без ошибок, закрепите несколько шпаргалок и проверок здравым смыслом.

• Если сказано «p% от целого равно a», то целое равно a × 100 / p. Если сказано «после уменьшения на p% получено a», то целое равно a × 100 / (100 − p). Если «после увеличения на p% получено a», то целое равно a × 100 / (100 + p).
• Проверка знака: при скидке или удержании найденное целое должно быть больше полученной суммы; при наценке или превышении 100% — меньше результата, потому что результат уже включает «лишнюю» часть.
• Перевод процентов: 12,5% = 0,125 = 1/8; 20% = 0,2 = 1/5; 25% = 0,25 = 1/4; 50% = 0,5 = 1/2; 75% = 0,75 = 3/4. Это ускоряет вычисления.
• Следите за базой процента: «20% от чего?» Ошибка «процент не от той базы» — самая частая.
• Единицы измерения должны быть согласованы: не смешивайте сантиметры с километрами, рубли с копейками, литры с миллилитрами.

Иногда встречаются задачи с двойной информацией, где сравниваются части разных целых: «15% суммы A равны 20% суммы B. Известно, что A = 3600. Найдите B». Решение: 15% от A — это 540. Значит, 20% от B — 540. Тогда B = 540 × 100 / 20 = 2700. Этот тип задач повторяет один и тот же прием: сначала из одной связи получаем численное значение «части», затем по этой части находим второе целое.

Приведем комплексный пример с несколькими шагами. «После двух последовательных скидок 10% и 15% товар стоит 688,5 рублей. Найдите первоначальную цену». Здесь итог — это 90% от предыдущей цены, затем 85% от получившегося, суммарно 0,9 × 0,85 = 0,765 от исходной. Значит, 688,5 — это 76,5% от целого. Целое = 688,5 × 100 / 76,5 = 900 рублей. Проверка: 900 → скидка 10% = 810 → скидка 15% = 688,5, верно. Вывод: при нескольких изменениях долю можно перемножать, а целое восстанавливать делением на общий коэффициент.

Полезно уметь делать наглядные схемы (полоски 100%). Нарисуйте отрезок, пометьте 100% как целое. Отмечайте на нем долю (например, 30% или 3/5), визуально представляя, что дано и что ищется. Такой прием помогает не перепутать 100% − p% и p%, особенно в задачах «после скидки/налога». Подписи «часть», «целое», «остаток» снижают риск ошибки и ускоряют составление пропорции.

Ниже собраны типичные ошибки и способы их избежать:

• Путают «скидку» и «остаток»: делят на p% вместо (100 − p)%. Лекарство: дословно проговорите «после скидки осталось 100 − p процентов» и запишите именно остаточную долю.
• Неверная база процента: считают «20% от конечной» вместо «от исходной». Лекарство: подчеркните в тексте слово «от» и уточните базу.
• Забывают переводить проценты в дроби: пишут 15 вместо 0,15. Лекарство: сначала записывайте p% = p/100, только потом подставляйте.
• Пропускают единицы измерения: получают верное число, но в неверных единицах. Лекарство: при каждом действии подписывайте единицы, как в физике.
• Округляют слишком рано: промежуточные вычисления желательно вести точнее (в дробях), а округлять в конце.

Для самопроверки потренируйтесь на задачах разного контекста:

1. «30% плана составляют 75 изделий. Каков план?» Ответ: 75 × 100 / 30 = 250.
2. «В школе 12% учащихся — девятиклассники, их 96. Сколько всего учащихся?» Ответ: 96 × 100 / 12 = 800.
3. «Посылка после вычета 5% на упаковку весит 9,5 кг. Какова масса до упаковки?» Ответ: 9,5 × 100 / 95 = 10 кг.
4. «Длина одной части составляет 3/7 от общей длины троса и равна 12 м. Найдите длину троса». Ответ: 12 / (3/7) = 28 м.
5. «Сумма с 7% комиссией составила 3219 руб. Найдите сумму без комиссии». Ответ: 3219 × 100 / 107 = 3017 руб. (округляя до рубля).

Итоговая идея запоминается как короткая формула и мысль: «Чтобы найти целое по части, нужно разделить часть на долю». Но важно не механическое применение, а понимание, что доля может быть выражена по-разному: процент, обычная дробь, десятичная дробь, масштаб, коэффициент увеличения/уменьшения. Умейте правильно определить, что именно является частью в данной задаче (скидка или остаток, налог или чистая сумма, присутствующие или отсутствующие), переводите долю в удобную форму и обязательно делайте проверку обратным действием.

Наконец, небольшой оперативный конспект, который поможет быстро ориентироваться на контрольной:

• Целое = Часть / Доля.
• Если Часть = p% от целого, то Целое = Часть × 100 / p.
• Если Часть = k от целого, то Целое = Часть / k.
• После скидки p% платим (100 − p)%, после наценки — (100 + p)%.
• Проверка: Доля × Целое = Часть (или p% от Целого = Часть).

Освоив эти приемы, вы уверенно решите задачи про проценты, стоимость до и после скидки, сумму без и с налогом, массу раствора по массе вещества, длину по известной части, задачи на масштаб, а также комбинированные задачи, где несколько изменений идут подряд. Главная опора — корректный выбор доли и внимательное чтение формулировки «от чего берется часть».