1) Как найти интервалы монотонности функции y = 2x^3 + 3x^2 - 4?

Чтобы найти интервалы монотонности функции, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. В данном случае, производная y' = 6x^2 + 6.
2. Найти нули производной, решив уравнение 6x^2 + 6 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как 6x^2 + 6 всегда больше нуля.
3. Поскольку производная не меняет знак и всегда положительна, функция y = 2x^3 + 3x^2 - 4 является возрастающей на всей числовой прямой.

2) Как определить точки экстремума функции y = 3x^4 - 4x^3 и значения функции в этих точках?

Для нахождения точек экстремума выполните следующие шаги:

1. Найдите производную функции: y' = 12x^3 - 12x^2.
2. Приравняйте производную к нулю: 12x^3 - 12x^2 = 0. Выделите общий множитель: 12x^2(x - 1) = 0. Таким образом, x = 0 и x = 1.
3. Определите знак производной на интервалах, разделенных найденными точками (например, (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞)).
4. Проверьте значения функции в найденных точках: y(0) = 0, y(1) = -1.
5. Точка x = 0 - минимум, точка x = 1 - максимум.

3) Как найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 на отрезке [-1; 2]?

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, выполните следующие шаги:

1. Найдите производную: f'(x) = 3x^2 - 12.
2. Приравняйте производную к нулю: 3x^2 - 12 = 0, отсюда x = ±2.
3. Проверьте значения функции на концах отрезка и в критических точках: f(-1), f(2), f(2).
4. Сравните полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее.

4) Как построить график функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3?

Чтобы построить график функции, выполните следующие шаги:

1. Найдите производную функции, чтобы определить интервалы монотонности и точки экстремума.
2. Определите нули функции, решив уравнение x^3 - 2x^2 + x + 3 = 0.
3. Найдите значения функции в интересующих вас точках, включая концы отрезка, если он задан.
4. Постройте координатную сетку и отметьте найденные точки и экстремумы.
5. Соедините точки плавной линией, учитывая поведение функции на интервалах.

5) Как найти наименьшее значение функции f(x) = e^(3x) - 3x на интервале (-1; 1)?

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале выполните следующие шаги:

1. Найдите производную: f'(x) = 3e^(3x) - 3.
2. Приравняйте производную к нулю: 3e^(3x) - 3 = 0, откуда e^(3x) = 1, следовательно, x = 0.
3. Проверьте значения функции в критической точке и на концах интервала: f(-1), f(0), f(1).
4. Сравните полученные значения, чтобы определить наименьшее значение функции на интервале.

6) (дополн.) Как найти наибольшую площадь ромба, сумма длин диагоналей которого равна 12 см?

Чтобы найти наибольшую площадь ромба, выполните следующие шаги:

1. Площадь ромба вычисляется по формуле: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - длины диагоналей.
2. Пусть d1 + d2 = 12. Выразите одну диагональ через другую: d2 = 12 - d1.
3. Подставьте это выражение в формулу площади: S = (d1 * (12 - d1)) / 2.
4. Найдите производную S' и приравняйте к нулю, чтобы найти максимальное значение площади.
5. Решите уравнение и найдите значение d1, затем d2 и подставьте их в формулу площади.