Давайте разберем каждый из пунктов вашего задания по порядку.

1. Определение области определения функции по графику:

• Область определения функции - это все значения x, для которых функция существует. На графике это те x, для которых есть соответствующие y.
• Посмотрите на график: найдите, где функция не определена (например, разрывы или вертикальные асимптоты).

2. Определение области значений функции по графику:

• Область значений - это все возможные значения y, которые функция может принимать.
• На графике посмотрите на максимальные и минимальные значения y, которые достигает функция.

3. Нули функции:

• Нули функции - это значения x, при которых y = 0.
• На графике найдите точки пересечения с осью x.

4. Промежутки монотонности функции:

• Функция монотонна, если она возрастает или убывает на промежутке.
• Определите участки графика, где функция поднимается (возрастает) или опускается (убывает).

5. Промежутки знакопостоянства функции:

• Функция знакопостоянна, если она либо положительна, либо отрицательна на промежутке.
• Посмотрите на график и определите, где функция выше оси x (положительна) и ниже (отрицательна).

6. Область определения функции f(x) = (x - 3) / (5 + 2x) + √(81 - x²):

• Сначала определим, где дробь (x - 3) / (5 + 2x) определена. Знаменатель не должен равняться нулю: 5 + 2x ≠ 0, отсюда x ≠ -2.5.
• Теперь найдем область определения корня √(81 - x²). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 81 - x² ≥ 0, что дает -9 ≤ x ≤ 9.
• Таким образом, область определения функции: [-9, -2.5) ∪ (-2.5, 9].

7. Множество значений функции y = 3 - cos(tx):

• Функция косинуса принимает значения от -1 до 1. Значит, cos(tx) изменяется от -1 до 1.
• Следовательно, y = 3 - cos(tx) изменяется от 3 - 1 = 2 до 3 - (-1) = 4.
• Таким образом, множество значений функции: [2, 4].

8. Исследование функции на четность: f(x) = ctg(x) + 2x³:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x в области определения.
• Проверим: f(-x) = ctg(-x) + 2(-x)³ = -ctg(x) - 2x³.
• Поскольку ctg(-x) = -ctg(x), то f(-x) ≠ f(x), следовательно, функция нечетная.

9. Образная функция для y = (3 - 2x) / (1 - 3x):

• Для нахождения образной функции, выразим x через y: y(1 - 3x) = 3 - 2x.
• Раскроем скобки: y - 3yx = 3 - 2x.
• Соберем все x в одну часть: 3yx - 2x = 3 - y.
• Вынесем x за скобки: x(3y - 2) = 3 - y, отсюда x = (3 - y) / (3y - 2).
• Таким образом, образная функция: x = (3 - y) / (3y - 2).

10. Значение выражения: arcsin(-1) + arcctg(√3) - arccos(0):

• arcsin(-1) = -π/2 (или -90 градусов).
• arcctg(√3) = π/6 (или 30 градусов), так как ctg(π/6) = √3.
• arccos(0) = π/2 (или 90 градусов).
• Теперь подставим значения: -π/2 + π/6 - π/2 = -π + π/6 = -5π/6.

Таким образом, мы рассмотрели все пункты вашего задания. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!