Решим задачу по нахождению промежутков возрастания и убывания, точек перегиба и экстремумов для каждой из данных функций.

• Для нахождения экстремумов и промежутков возрастания/убывания найдем производную функции:
• y' = -2/(x-2)^3
• Производная равна нулю, когда числитель равен нулю, но в данном случае он равен нулю только в бесконечности. Посмотрим знак производной:
• При x < 2, y' > 0 (функция возрастает)
• При x > 2, y' < 0 (функция убывает)
• Таким образом, функция возрастает на (-∞, 2) и убывает на (2, +∞).
• Точка x = 2 является точкой разрыва, но не экстремумом.

• Разделим на два случая: x >= 0 и x < 0.
• Для x >= 0: y = 4x - x^2. Найдем производную:
• y' = 4 - 2x
• Приравняем к нулю: 4 - 2x = 0, x = 2 (экстремум).
• Знаки производной:
• При x < 2, y' > 0 (возрастает)
• При x > 2, y' < 0 (убывает)
• Для x < 0: y = -4x - x^2. Найдем производную:
• y' = -4 - 2x
• Приравняем к нулю: -4 - 2x = 0, x = -2 (экстремум).
• Знаки производной:
• При x < -2, y' < 0 (убывает)
• При x > -2, y' > 0 (возрастает)
• Таким образом, экстремумы: x = -2 (минимум) и x = 2 (максимум).

• Найдем производную:
• y' = -3/(x+1)^4
• Производная не равна нулю, но меняет знак:
• При x < -1, y' < 0 (функция убывает)
• При x > -1, y' < 0 (функция также убывает)
• Точка x = -1 - это точка перегиба, но экстремумов нет.

• Разделим на два случая: x >= 0 и x < 0.
• Для x >= 0: y = x^2 - 2x. Найдем производную:
• y' = 2x - 2
• Приравняем к нулю: 2x - 2 = 0, x = 1 (экстремум).
• Знаки производной:
• При x < 1, y' < 0 (убывает)
• При x > 1, y' > 0 (возрастает)
• Для x < 0: y = x^2 + 2x. Найдем производную:
• y' = 2x + 2
• Приравняем к нулю: 2x + 2 = 0, x = -1 (экстремум).
• Знаки производной:
• При x < -1, y' < 0 (убывает)
• При x > -1, y' > 0 (возрастает)
• Таким образом, экстремумы: x = -1 (минимум) и x = 1 (максимум).