Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Исследование графика функции:

• Область определения функции: Это все значения x, для которых функция определена. Мы смотрим на график и определяем, где функция не имеет разрывов или не определена (например, деление на ноль).
• Область значений функции: Это все возможные значения y, которые функция принимает. Мы смотрим на график и определяем минимальные и максимальные значения функции.
• Нули функции: Это значения x, при которых y = 0. Мы ищем точки пересечения графика с осью абсцисс.
• Промежутки монотонности функции: Это интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Мы определяем, где график поднимается или опускается.
• Промежутки знакопостоянства функции: Это интервалы, на которых функция сохраняет один и тот же знак (положительный или отрицательный).

2. Найдите область определения функции f(x) = (x - 3) / (5 + 2x) + √(81 - x²):

1. Первый компонент (x - 3) / (5 + 2x) определен при условии, что 5 + 2x ≠ 0, то есть x ≠ -5/2.
2. Второй компонент √(81 - x²) определен, когда 81 - x² ≥ 0, что приводит к -9 ≤ x ≤ 9.
3. Объединяя оба условия, область определения: [-9, -5/2) ∪ (-5/2, 9].

3. Найдите множество значений функции y = 3 - cos(tx):

• Функция cos(tx) принимает значения от -1 до 1.
• Следовательно, 3 - cos(tx) будет принимать значения от 3 - 1 = 2 до 3 - (-1) = 4.
• Таким образом, множество значений функции: [2, 4].

4. Исследуйте функцию на чётность: f(x) = ctg(x) + 2x³:

• Функция четная, если f(-x) = f(x).
• f(-x) = ctg(-x) + 2(-x)³ = -ctg(x) - 2x³.
• Так как f(-x) ≠ f(x), функция не четная.
• Также f(-x) ≠ -f(x), значит, функция не нечётная.

5. Для функции y = (3 - 2x) / (1 - 3x) запишите образную функцию:

1. Обозначим y = (3 - 2x) / (1 - 3x).
2. Перепишем уравнение: y(1 - 3x) = 3 - 2x.
3. Раскроем скобки: y - 3xy = 3 - 2x.
4. Соберем все x в одну сторону: 2x - 3xy = 3 - y.
5. Решим относительно x: x(2 - 3y) = 3 - y, x = (3 - y) / (2 - 3y).
6. Таким образом, образная функция: x = (3 - y) / (2 - 3y).

6. Найдите значение выражения: arcsin(-1) + arcctg(√3) - arccos(0):

• arcsin(-1) = -π/2.
• arcctg(√3) = π/6.
• arccos(0) = π/2.
• Теперь подставим значения: -π/2 + π/6 - π/2 = -π + π/6 = -5π/6.

Таким образом, мы подробно рассмотрели каждую из задач. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!