Какова площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно 6 см и образует угол 60° с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды площадь поверхности пирамиды правильная четырехугольная пирамида боковое ребро 6 см угол 60 градусов геометрия 11 класс Новый

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, необходимо учитывать как площадь основания, так и площадь боковых граней. Давайте разберем этот процесс по шагам.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

Боковое ребро пирамиды равно 6 см и образует угол 60° с плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты пирамиды.

Обозначим:

• h - высота пирамиды;
• l - боковое ребро (l = 6 см);
• α - угол между боковым ребром и плоскостью основания (α = 60°).

По определению косинуса:

cos(α) = h / l

Таким образом, высота h может быть найдена следующим образом:

h = l * cos(α) = 6 * cos(60°) = 6 * 0.5 = 3 см.

Шаг 2: Определение стороны основания

Теперь найдем длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды. Обозначим длину стороны основания как a. Для этого используем синус угла:

sin(α) = a / l.

Следовательно:

a = l * sin(α) = 6 * sin(60°) = 6 * (√3 / 2) = 3√3 см.

Шаг 3: Площадь основания

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды (квадрат) равна:

S_осн = a² = (3√3)² = 27 см².

Шаг 4: Площадь боковых граней

Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле:

S_бок = (1/2) * основание * высота.

Основание равнобедренного треугольника равно a, а высота - это высота треугольника, проведенная из вершины пирамиды к середине основания. Высота треугольника равна:

h_бок = √(l² - (a/2)²) = √(6² - (3√3/2)²) = √(36 - (27/4)) = √(144/4 - 27/4) = √(117/4) = (√117)/2 см.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани:

S_бок = (1/2) * a * h_бок = (1/2) * (3√3) * (√117)/2 = (3√3√117)/4 см².

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней будет равна:

S_бок_общ = 4 * S_бок = 3√3√117 см².

Шаг 5: Общая площадь поверхности пирамиды

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды:

S_общ = S_осн + S_бок_общ = 27 + 3√3√117 см².

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 27 + 3√3√117 см².