Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, в которой все ребра равны 12 см, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение параметров пирамиды.

• Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание и четыре равных боковых грани, которые являются равнобедренными треугольниками.
• Обозначим длину ребра пирамиды как a. В нашем случае a = 12 см.

Шаг 2: Нахождение площади основания.

• Площадь основания (квадрат) вычисляется по формуле: S_основания = a^2.
• Подставляем значение: S_основания = 12 см * 12 см = 144 см².

Шаг 3: Нахождение высоты боковой грани.

• Для нахождения площади боковой грани, необходимо определить высоту треугольника, который является боковой гранью.
• Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с основанием равным стороне квадрата (a = 12 см) и двумя равными сторонами, которые равны ребрам пирамиды (т.е. 12 см).
• Чтобы найти высоту бокового треугольника, воспользуемся формулой для высоты равнобедренного треугольника: h = √(c² - (b/2)²), где c - длина бокового ребра, b - длина основания треугольника.
• В нашем случае: c = 12 см, b = 12 см.
• h = √(12² - (12/2)²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.

Шаг 4: Нахождение площади боковой грани.

• Площадь боковой грани (треугольника) вычисляется по формуле: S_боковой = (1/2) * основание * высота.
• Подставляем значения: S_боковой = (1/2) * 12 см * 6√3 см = 36√3 см².

Шаг 5: Нахождение общей площади боковых граней.

• Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней будет: S_боковых = 4 * S_боковой = 4 * 36√3 см² = 144√3 см².

Шаг 6: Нахождение общей площади поверхности пирамиды.

• Общая площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и общей площади боковых граней:
• S_поверхности = S_основания + S_боковых = 144 см² + 144√3 см².

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 144 см² + 144√3 см².