Вычисление выражений с корнями является важной темой в алгебре, особенно для учащихся 9 класса. Эта тема включает в себя понимание свойств корней, а также умение выполнять операции с корнями. В данном объяснении мы подробно рассмотрим, как правильно вычислять выражения с корнями, какие правила нужно помнить и как применять их на практике.

Что такое корень? Корень числа – это такое число, которое при возведении в степень дает это число. Например, корень квадратный из 9 равен 3, так как 3 в квадрате (3 * 3) равно 9. В алгебре мы чаще всего встречаемся с корнями квадратными, но также существуют корни кубические и более высоких степеней. Записывается корень с помощью радикала: √. Например, √9 = 3, а √16 = 4.

При вычислении выражений с корнями важно помнить о свойствах корней. Вот некоторые из них:

• Сумма и разность корней: √a + √b не равен √(a + b), но √a - √b может быть упрощен при наличии общего множителя.
• Произведение корней: √a * √b = √(a * b). Это свойство позволяет нам объединять корни в одно выражение.
• Частное корней: √a / √b = √(a / b). Это также полезное свойство для упрощения выражений.
• Возведение корня в степень: (√a)^n = a^(n/2). Это свойство позволяет нам работать с корнями и степенями одновременно.

Теперь давайте рассмотрим, как применять эти свойства на практике. Начнем с простого примера: вычислим выражение √50 + √18. На первый взгляд, это выражение не поддается упрощению, но мы можем воспользоваться разложением под корнем.

Для начала разложим каждое из чисел на множители:

• 50 = 25 * 2 = 5^2 * 2
• 18 = 9 * 2 = 3^2 * 2

Теперь подставим разложенные корни обратно в выражение:

• √50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2
• √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2

Теперь мы можем сложить корни:

√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = (5 + 3)√2 = 8√2.

Таким образом, мы получили упрощенное выражение. Это показывает, насколько важно уметь разлагать числа под корнем для упрощения вычислений. Теперь рассмотрим более сложный пример, который включает в себя операции с корнями и алгебраическими выражениями.

Предположим, нам нужно вычислить выражение: (√12 + √27) * (√3 - √2). Сначала упростим каждую часть выражения. Разложим корни:

• √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3
• √27 = √(9 * 3) = √9 * √3 = 3√3

Теперь подставим это в выражение:

(2√3 + 3√3) * (√3 - √2) = (5√3) * (√3 - √2).

Теперь мы можем воспользоваться дистрибутивным законом (распределением) для умножения:

5√3 * √3 - 5√3 * √2 = 5 * 3 - 5√6 = 15 - 5√6.

Таким образом, мы получили окончательный ответ: 15 - 5√6. Этот пример показывает, как важно правильно упрощать выражения и использовать свойства корней для достижения конечного результата.

В заключение, вычисление выражений с корнями – это навык, который требует практики и понимания. Помните, что разложение чисел под корнем и использование свойств корней существенно упрощает задачу. Практикуйтесь на различных примерах, чтобы уверенно справляться с подобными задачами на экзаменах и контрольных. Успехов вам в изучении алгебры!