В школьной практике задачи на движение — один из самых полезных и логичных разделов математики. Они учат анализировать реальную ситуацию, аккуратно вводить обозначения и строить уравнения по смыслу текста. В основе любой такой задачи лежит простая связь величин: путь равен произведению скорости на время, то есть s = v · t. Это правило работает для равномерного движения, когда скорость постоянна и тело не замедляется и не ускоряется. Поэтому первый шаг — понять, какая величина в условии известна, какая неизвестна и как их связать через формулу s = v · t. Очень важно предварительно привести все единицы измерения к единому виду: если путь в километрах, то скорость — в км/ч, а время — в часах; если путь в метрах, то скорость — в м/с, а время — в секундах. Напомним: 1 м/с = 3,6 км/ч; 90 км/ч = 25 м/с; 30 минут — это 0,5 часа; 15 минут — 0,25 часа и т.д.

Чтобы уверенно решать такие задачи, удобно держать в голове небольшой алгоритм. Начинаем с внимательного чтения условия и выделения всех участников движения: это могут быть автомобили, поезда, велосипедисты, лодка и течение, бегуны на круговой дорожке, да даже эскалатор и пешеход. Затем выбираем, какую величину обозначать переменной: чаще всего это время до встречи, время догонки или неизвестная скорость. После этого составляем краткую запись — мысленную или в виде таблицы: в каждой строке — объект, в графах — скорость, время, путь, где пустое выражаем через s = v · t. Следующий шаг — составить уравнение по смыслу: при встрече суммы пройденных путей равны расстоянию между пунктами, при догонке пути до встречи равны, при круговом движении учитывается полный круг и т.д. Далее решаем уравнение (или систему уравнений), обязательно выполняем проверку и формулируем ответ понятным языком. Этот путь надежен и позволяет избегать случайных ошибок.

Особое место занимает понятие относительной скорости. Если два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме скоростей: vотн = v1 + v2. Если один догоняет другого (движение в одном направлении), то скорость сближения — разность: vотн = vбыстрее − vмедленнее. На этой идее построены самые популярные типы задач — на встречное движение и на догонку. Понимание относительной скорости позволяет быстро находить время до встречи: t = расстояние / vотн. Однако важно не подставлять числа бездумно, а каждый раз подтверждать, что уважена логика конкретной ситуации: кто догоняет, кто уходит, движутся ли одновременно, нет ли промежутков покоя.

Рассмотрим базовый пример на встречу. Два автомобиля выехали одновременно из городов, между которыми 270 км. Первый идет со скоростью 60 км/ч, второй — 75 км/ч. Найти время до встречи и путь, пройденный каждым. Запишем данные и применим относительную скорость. Они движутся навстречу, значит vотн = 60 + 75 = 135 км/ч. Тогда время до встречи t = 270 / 135 = 2 часа. Проверим пройденные пути: первый пройдет s1 = 60 · 2 = 120 км, второй — s2 = 75 · 2 = 150 км. Сумма 120 + 150 = 270 км, что совпадает с исходной дистанцией. Заметим, что вариант «догнать» тут не подходит: автомобили не стартуют из одной точки и движутся не в одном направлении — важна внимательная интерпретация текста, иначе легко подобрать неверную формулу.

Теперь пример на догонку. Велосипедист А выехал из пункта P со скоростью 18 км/ч. Через 30 минут из того же пункта стартовал велосипедист Б со скоростью 24 км/ч. Когда Б догонит А? Сначала найдем, какой запас пути успел сделать первый за 30 минут: 30 минут — это 0,5 часа, значит отрыв равен sотрыв = 18 · 0,5 = 9 км. Относительная скорость при догонке: vотн = 24 − 18 = 6 км/ч. Тогда время догонки (после старта Б) t = 9 / 6 = 1,5 часа. Полное время в пути для А до встречи — 0,5 + 1,5 = 2 часа, и он пройдет sA = 18 · 2 = 36 км. Б пройдет за 1,5 часа sB = 24 · 1,5 = 36 км. Равенство путей подтверждает корректность решения. Хороший прием проверки — мысленно «перемотать» ситуацию: если бы оба стартовали одновременно, сколько времени понадобилось бы более быстрому, чтобы «съесть» 9 км отрыва при скорости сближения 6 км/ч? Ровно 1,5 часа — все сходится.

Частая ловушка — неправильное применение понятия средней скорости. Она всегда равна общему пути, деленному на общее время, и почти никогда не равна простому среднему арифметическому скоростей. Классический пример: автомобиль туда ехал со скоростью 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Найти среднюю скорость за весь путь туда-обратно. Пусть расстояние в одну сторону — L км. Тогда общее расстояние 2L. Время туда t1 = L/60, обратно t2 = L/40. Общее время t = L/60 + L/40 = L(1/60 + 1/40) = L(1/24) = L/24 часа? Стоп, аккуратнее: 1/60 + 1/40 = (2/120 + 3/120) = 5/120 = 1/24, верно. Тогда t = L/24 часа? Ошибка в размерности: L/24 — это часы на километр? Исправим вычисление правильно: t = L/60 + L/40 = L(1/60 + 1/40) = L(1/24) часа. Значит средняя скорость vср = 2L / [L(1/24)] = 2 / (1/24) = 48 км/ч. Именно 48, а не (60 + 40)/2 = 50. Это яркая иллюстрация того, что «средние значения» в движении зависят от времени, а время — величина, связанная с обратными скоростями.

Отдельный класс — задачи о движении по воде и по воздуху. Там важно выделять собственную скорость лодки или самолета и скорость среды (течение реки, ветер). При движении по течению получаем vпо течению = vсобственная + vтечения, против течения — vпротив = vсобственная − vтечения. Пример. Лодка имеет собственную скорость 12 км/ч, течение — 3 км/ч. Расстояние от А до В равно 36 км. Найдите время на путь от А до В по течению и обратно против течения. По течению скорость 12 + 3 = 15 км/ч, время туда t1 = 36/15 = 2,4 часа. Против течения скорость 12 − 3 = 9 км/ч, время обратно t2 = 36/9 = 4 часа. Общее время t = 2,4 + 4 = 6,4 часа. В подобных задачах часто спрашивают и обратное: по известным временам туда и обратно найти скорость течения. Тогда удобно вводить переменные vлодки и vтечения, записывать два выражения для времени (L/(vлодки + vтечения) и L/(vлодки − vтечения)) и составлять систему.

Интересны и задачи о движении по кругу. Здесь путь до повторной встречи может быть кратен длине круга. Например, два бегуна стартуют одновременно с одной точки стадиона длиной 400 м. Скорости 6 м/с и 4 м/с. Через какое время более быстрый догонит медленного на круг? Поскольку они движутся в одном направлении, относительная скорость 6 − 4 = 2 м/с. Чтобы «наверстать» целый круг (400 м), нужно t = 400 / 2 = 200 секунд, то есть 3 минуты 20 секунд. Если бы бегуны бежали навстречу, встречались бы каждые 400 / (6 + 4) = 40 секунд. В задачах такого типа важно не путать «первая встреча» и «перегон на один круг»: это разные условия, и путь до события — разный (длина круга против нулевой дистанции между стартовыми точками).

Стратегия решения большинства задач на движение опирается на четкие, повторяемые шаги. Удобно помнить такой алгоритм:

1. Перевести текст в математическую схему: кто, куда, когда, с какой скоростью.
2. Привести величины к единым единицам измерения (км/ч и ч, либо м/с и с).
3. Выбрать переменную: чаще всего это время или скорость, реже — расстояние.
4. Составить краткую таблицу «скорость — время — путь» для каждого участника.
5. Записать уравнение по смыслу: сумма путей, равенство путей, длина круга, разность времен и т.д.
6. Решить уравнение (или систему), сделать аккуратные вычисления.
7. Выполнить проверку: подставить в исходные формулы, оценить разумность ответа.

Чтобы еще лучше понимать смысл уравнений, полезно рассмотреть задачку с «сдвигами по времени». Пример. Из пункта А в пункт В одновременно выехали автобус и легковой автомобиль, расстояние между пунктами 240 км. Скорость автобуса 60 км/ч, автомобиль ехал быстрее — 80 км/ч, но он задержался на 30 минут перед выездом. Догонит ли он автобус до пункта В? Вычислим: за 0,5 часа автобус проходит 60 · 0,5 = 30 км и уходит вперед. Относительная скорость после старта автомобиля — 80 − 60 = 20 км/ч. Время догонки t = 30 / 20 = 1,5 часа. Расстояние, которое автобус проедет к моменту догонки, будет: 0,5 часа до старта автомобиля плюс 1,5 часа после — всего 2 часа, значит он окажется в 60 · 2 = 120 км от А. До В остается еще 240 − 120 = 120 км, значит автомобиль успеет догнать автобус задолго до финиша. Это пример, где важно сначала оценить «фору», а затем применить относительную скорость.

Полезный инструмент — график движения: откладываем время по горизонтали, путь по вертикали, каждая траектория — прямая линия с угловым коэффициентом, равным скорости. Точка пересечения линий показывает момент встречи. Такой рисунок помогает визуально понять, почему при встречном движении наклон суммарный (линии «идут навстречу»), а при догонке — разность наклонов. Даже без точного масштаба график подсвечивает, где возникает равенство путей или сумм путей, и помогает избежать логических ошибок при составлении уравнений.

Рассмотрим задачу, где удобно использовать систему уравнений. По реке вниз и вверх лодка прошла одинаковое расстояние. Весь путь занял 6 часов, при этом по течению она шла на 1,5 часа меньше, чем против. Найти собственную скорость лодки и скорость течения, если расстояние в одну сторону равно 27 км. Пусть v — собственная скорость, u — скорость течения. Тогда по течению скорость v + u, время t1 = 27 / (v + u). Против течения скорость v − u, время t2 = 27 / (v − u). По условию t1 + t2 = 6 и t2 − t1 = 1,5. Сложим и вычтем уравнения: получаем t2 = 3,75 и t1 = 2,25 часа. Отсюда 27/(v + u) = 2,25, 27/(v − u) = 3,75. Выразим: v + u = 12 км/ч, v − u = 7,2 км/ч. Складываем: 2v = 19,2, значит v = 9,6 км/ч; тогда u = 12 − 9,6 = 2,4 км/ч. Проверка по времени подтверждает ответ. Такой подход демонстрирует, как условные связи между временами позволяют обойтись без перебора и получить точное решение.

Отдельно стоит обсудить технологию вычислений и типичные ошибки. Часто путают единицы измерения: например, скорость в км/ч, а расстояние в метрах. Всегда делайте предварительную конвертацию. Второй распространенный промах — неверный выбор относительной скорости: при движении навстречу складываем, при догонке вычитаем. Третья ошибка — путаница во времени стартов: если один участник начал раньше, это означает дополнительный пройденный путь, который необходимо учитывать до момента, когда второй вообще начал двигаться. Четвертая — бездумное усреднение скоростей. Помните: средняя скорость за весь путь — это общая дистанция, деленная на общую длительность, и только так. Пятая — игнорирование здравого смысла. Если у вас получается время отрицательное или, скажем, встреча происходит «позже», чем маршрут вообще завершается, — это тревожный сигнал, стоит пересмотреть модель.

Чтобы решения были чистыми, придерживайтесь ясной записи. Краткая «табличка» в тетради может выглядеть так (словесно):

• Объект 1: скорость v1 = …; время t1 = …; путь s1 = v1 · t1.
• Объект 2: скорость v2 = …; время t2 = …; путь s2 = v2 · t2.
• Связь по тексту: например, s1 + s2 = S (если встречное движение), или s1 = s2 (если догонка), или s1 − s2 = длина круга (если круг и встреча в одной точке), или t1 + t2 = T (если известна суммарная длительность).

Такая схема помогает «увидеть» уравнение до того, как вы начнете считать, а значит — избежать лишних действий и неверных преобразований.

Приведем еще одну задачу на составление уравнения по времени. Дорога между пунктами А и В длиной 150 км. Если автомобиль будет ехать со скоростью 75 км/ч, он прибудет вовремя. На самом деле в первой половине пути он двигался со скоростью 60 км/ч, а во второй — ускорился до 90 км/ч. Прибыл ли он вовремя? Сравним фактическое и плановое время. Плановое: tпл = 150 / 75 = 2 часа. Фактическое: половина пути — 75 км со скоростью 60 км/ч, время t1 = 75/60 = 1,25 часа; вторая половина — 75 км со скоростью 90 км/ч, время t2 = 75/90 = 0,833… часа. Сумма tф = 2,083… часа, то есть примерно 2 часа 5 минут. Значит автомобиль опоздал примерно на 5 минут. Заметите: хотя средняя арифметическая скорость (60 и 90) равна 75, фактическая средняя скорость за весь путь чуть меньше — около 72 км/ч, что и привело к опозданию. Опять сработало правило «общий путь / общее время».

Для систематизации полезно иметь под рукой короткую «шпаргалку» формул и идей:

• Путь: s = v · t.
• Встречное движение: vотн = v1 + v2; время до встречи t = S / (v1 + v2).
• Догонка: vотн = vбыстрее − vмедленнее; путь отрыва — это то, что прошел раньше стартовавший или более быстрый/медленный в «лишнее» время.
• Река: vпо течению = vсобственная + vтечения, vпротив = vсобственная − vтечения.
• Средняя скорость: vср = Sобщ / tобщ; для двух равных по расстоянию участков vср = 2v1v2 / (v1 + v2).
• Переход единиц: 1 м/с = 3,6 км/ч; минуты переводим в часы делением на 60.
• Проверка: складываем или сравниваем пути и времена по смыслу задачи; анализируем разумность числа.

Иногда встречаются ситуации со стоянками или с изменением скорости на отдельных участках. Тогда движение становится «кусочным»: для каждого отрезка записываем свое s = v · t, а затем суммируем пути или времена. Например: поезд шел 2 часа со скоростью 70 км/ч, затем 30 минут стоял, затем 1,5 часа ехал со скоростью 60 км/ч. Общий путь: 2 · 70 + 0 · 0,5 + 1,5 · 60 = 140 + 90 = 230 км. Общее время: 2 + 0,5 + 1,5 = 4 часа. Средняя скорость: 230 / 4 = 57,5 км/ч. Важно записывать каждый участок отдельно, чтобы не потерять «нулевой» вклад стоянки в путь, но учесть его в полном времени.

Наконец, обратите внимание на язык задачи. Фразы «через сколько времени они встретятся», «на сколько раньше прибыл», «сколько времени понадобится, чтобы нагнать», «какой путь пройдет до встречи», «какова собственная скорость лодки» — все это разные вопросы. От них зависит, что вы будете находить в уравнении. Не бойтесь вводить дополнительные обозначения, если это проясняет картину: например, tвстр — время до встречи; S — исходная дистанция; L — длина круга; vтеч — скорость течения. Главное — четко объяснить себе логику: какой путь прошел каждый участник к нужному моменту, чем эти пути связаны, и как из этой связи получить уравнение.

Итоговая рекомендация для уверенного решения задач на движение проста: аккуратно разбирайте текст, переводите слова в формулы, используйте идею относительной скорости, не забывайте о единицах, и всегда выполняйте проверку. Полезно тренироваться на задачах разных типов: на встречное движение, на догонку, по реке (по течению и против течения), по кругу, с кусочными скоростями и стоянками, с расчетом средней скорости. Со временем вы начнете угадывать нужную модель буквально по паре ключевых слов, а вычисления займут считаные минуты. Это не только подготовит к контрольным и экзаменам, но и сформирует навык рационального мышления, который пригодится в реальной жизни — от планирования поездки до оценки времени прибытия при пробках и пересадках.