Как можно решить уравнение |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 4?

Математика 8 класс Уравнения с модулями решение уравнения модульные уравнения математика 8 класс уравнение с модулями algebra задачи по математике Новый

Для решения уравнения |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 4, нам нужно учесть, что абсолютные значения зависят от знака выражений внутри них. Поэтому мы будем рассматривать разные случаи, в зависимости от значений x.

Сначала определим критические точки, где выражения внутри абсолютных значений равны нулю:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 2 = 0 → x = -2
• x - 3 = 0 → x = 3

Таким образом, критические точки: -2, 1 и 3. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• 1) x < -2
• 2) -2 ≤ x < 1
• 3) 1 ≤ x < 3
• 4) x ≥ 3

Теперь рассмотрим каждую из этих областей по отдельности.

1. Интервал x < -2:

В этом интервале все выражения внутри абсолютных значений отрицательны:

|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1

|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2

|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

Подставим эти выражения в уравнение:

(-x + 1) + (-x - 2) - (-x + 3) = 4

Упрощаем:

-x + 1 - x - 2 + x - 3 = 4

-x - 4 = 4

-x = 8

x = -8

Проверяем: -8 < -2, значит, это решение подходит.

2. Интервал -2 ≤ x < 1:

В этом интервале |x - 1| и |x - 3| отрицательные, а |x + 2| положительное:

|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1

|x + 2| = x + 2

|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

Подставим в уравнение:

(-x + 1) + (x + 2) - (-x + 3) = 4

Упрощаем:

-x + 1 + x + 2 + x - 3 = 4

x = 4

Проверяем: 4 не принадлежит интервалу -2 ≤ x < 1, значит, это решение не подходит.

3. Интервал 1 ≤ x < 3:

В этом интервале |x - 1| и |x + 2| положительные, а |x - 3| отрицательное:

|x - 1| = x - 1

|x + 2| = x + 2

|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

Подставим в уравнение:

(x - 1) + (x + 2) - (-x + 3) = 4

Упрощаем:

x - 1 + x + 2 + x - 3 = 4

3x - 2 = 4

3x = 6

x = 2

Проверяем: 2 принадлежит интервалу 1 ≤ x < 3, значит, это решение подходит.

4. Интервал x ≥ 3:

В этом интервале все выражения положительные:

|x - 1| = x - 1

|x + 2| = x + 2

|x - 3| = x - 3

Подставим в уравнение:

(x - 1) + (x + 2) - (x - 3) = 4

Упрощаем:

x - 1 + x + 2 - x + 3 = 4

x + 4 = 4

x = 0

Проверяем: 0 не принадлежит интервалу x ≥ 3, значит, это решение не подходит.

Теперь подводим итог. Мы нашли два решения:

• x = -8 (интервал x < -2)
• x = 2 (интервал 1 ≤ x < 3)

Таким образом, окончательные решения уравнения |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 4: x = -8 и x = 2.