Давайте решим уравнение |x-4| + |x-5| = 1. Для начала, нужно понять, что абсолютная величина |a| означает расстояние числа a от нуля на числовой прямой. В нашем случае, мы имеем два выражения с абсолютной величиной, и их можно разбить на несколько случаев в зависимости от значений x.

Определим ключевые точки, где выражения внутри абсолютных величин равны нулю:

• x = 4
• x = 5

Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:

• Интервал 1: x < 4
• Интервал 2: 4 ≤ x < 5
• Интервал 3: x ≥ 5

Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности.

В этом интервале оба выражения внутри абсолютных величин отрицательны, поэтому:

|x-4| = 4-x и |x-5| = 5-x.

Подставляем в уравнение:

4 - x + 5 - x = 1

Соберем подобные слагаемые:

9 - 2x = 1

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим 9 на правую сторону: -2x = 1 - 9
2. -2x = -8
3. Делим обе стороны на -2: x = 4.

Поскольку x = 4 не принадлежит интервалу x < 4, то в этом интервале решений нет.

В этом интервале |x-4| = x-4 и |x-5| = 5-x. Подставляем в уравнение:

x - 4 + 5 - x = 1

Соберем подобные слагаемые:

1 = 1.

Это тождество верно для всех x в этом интервале. Значит, все значения x из интервала [4, 5) являются решениями.

В этом интервале оба выражения положительны, поэтому:

|x-4| = x-4 и |x-5| = x-5. Подставляем в уравнение:

x - 4 + x - 5 = 1

Соберем подобные слагаемые:

2x - 9 = 1.

Решим это уравнение:

1. Переносим -9 на правую сторону: 2x = 1 + 9
2. 2x = 10
3. Делим обе стороны на 2: x = 5.

Это значение x = 5 принадлежит интервалу x ≥ 5, значит, оно также является решением.

Теперь подведем итог:

Решениями уравнения |x-4| + |x-5| = 1 являются все числа из интервала [4, 5], включая 5.